Selectividad Andalucía 2008-6-A1

Sea $f: R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x) = (3x-2x^2)\cdot e^x$

– (a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de
– (b) Calcula los extremos relativos de (abcisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)

SOLUCIÓN

$f(x) = (3x-2x^2)\cdot e^x$
$f\textsc{\char13}(x) = (3-4x)\cdot e^x + (3x-2x^2)\cdot e^x = (-2x^2-x+3) \cdot e^x$
$f\textsc{\char13}(x) =0 \Longleftrightarrow (-2x^2-x+3) \cdot e^x =0$
Dado que no puede ser cero, nos queda que:

Resolvemos la ecuación y obtenemos como soluciones $x=\frac{-3}{2}$ y
Los intervalos a considerar son:
$(-\infty,-1.5) , \quad (-1.5,1) , \quad (1, +\infty)$
Tomamos un punto de cada intervalo y le aplicamos la derivada:
$f\textsc{\char13}(-2)= ... = (-3) \cdot e^{-2} < 0 \Rightarrow$ DECRECE
$f\textsc{\char13}(0)= ... = 3 > 0 \Rightarrow$ CRECE
$f\textsc{\char13}(2)= ... = (-7) \cdot e^2 < 0 \Rightarrow$ DECRECE