Selectividad Andalucía 2008-6-A1

, por dani

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f(x) = (3x-2x^2)\cdot e^x
f\textsc{\char13}(x) = (3-4x)\cdot e^x + (3x-2x^2)\cdot e^x = (-2x^2-x+3) \cdot e^x
f\textsc{\char13}(x) =0 \Longleftrightarrow (-2x^2-x+3) \cdot e^x =0
Dado que e^x no puede ser cero, nos queda que:
(-2x^2-x+3) =0
Resolvemos la ecuación y obtenemos como soluciones x=\frac{-3}{2} y x=1
Los intervalos a considerar son:
(-\infty,-1.5) , \quad (-1.5,1) , \quad (1, +\infty)
Tomamos un punto de cada intervalo y le aplicamos la derivada:
f\textsc{\char13}(-2)= ... = (-3) \cdot e^{-2} < 0 \Rightarrow DECRECE
f\textsc{\char13}(0)= ... = 3 > 0 \Rightarrow CRECE
f\textsc{\char13}(2)= ... = (-7) \cdot e^2 < 0 \Rightarrow DECRECE

– (- \infty , -1.5) Decrece
– (-1.5 , 1) Crece
– (1, + \infty) Decrece

– MIN(-1.5 , -9e^{-1.5})
– MAX(1, e)

La gráfica de la función sería la siguiente:

Sea f: R \longrightarrow R la función definida por f(x) = (3x-2x^2)\cdot e^x

– (a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f
– (b) Calcula los extremos relativos de f (abcisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)