Selectividad Andalucía 2008-6-A1

Sea f: R \longrightarrow R la función definida por f(x) = (3x-2x^2)\cdot e^x

- (a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f
- (b) Calcula los extremos relativos de f (abcisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)

SOLUCIÓN

f(x) = (3x-2x^2)\cdot e^x
f'(x) = (3-4x)\cdot e^x + (3x-2x^2)\cdot e^x = (-2x^2-x+3) \cdot e^x
f'(x) =0 \Longleftrightarrow (-2x^2-x+3) \cdot e^x =0
Dado que e^x no puede ser cero, nos queda que:
(-2x^2-x+3)  =0
Resolvemos la ecuación y obtenemos como soluciones x=\frac{-3}{2} y x=1
Los intervalos a considerar son:
(-\infty,-1.5) , \quad (-1.5,1) , \quad (1, +\infty)
Tomamos un punto de cada intervalo y le aplicamos la derivada:
f'(-2)= ... = (-3) \cdot e^{-2} < 0 \Rightarrow DECRECE
f'(0)= ... = 3 > 0 \Rightarrow CRECE
f'(2)= ... = (-7) \cdot e^2 < 0 \Rightarrow DECRECE

- (- \infty , -1.5) Decrece
- (-1.5 , 1) Crece
- (1, + \infty) Decrece

- MIN(-1.5 , -9e^{-1.5})
- MAX(1, e)

La gráfica de la función sería la siguiente: