Selectividad Andalucía 2008-6-A4

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Se considera la recta r definida por mx = y = z+2 , (m \neq 0) , y la recta s definida por \frac{x-4}{4} = y -1 = \frac{z}{2}

– (a) Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares.
– (b) Deduce razonadamente si existe algún valor de m para el que r y s son paralelas.

SOLUCIÓN

– a) Para que r y s sean perpendiculares, sus vectores directores deben ser ortogonales (perpendiculares), es decir, su producto escalar debe ser cero.
Busquemos los vectores directores de ambas rectas:
La recta s viene expresada en ecuación continua \frac{x-4}{4} = \frac{y -1}{1} = \frac{z}{2} , por lo que un vector director sería \vec{v_s}=(4,1,2)
La recta r también viene en ecuación continua, aunque un poco disfrazada: mx = y = z+2 . Podemos dividir todo por m (el enunciado nos asegura que m \neq 0) y quedaría:
\frac{mx}{m} = \frac{y}{m} = \frac{z+2}{m}
Simplificando en la primera fracción ya tenemos una expresión correcta de la ecuación continua
\frac{x}{1} = \frac{y}{m} = \frac{z+2}{m}
Por tanto, un vector director sería \vec{v_r}=(1,m,m)

Para que los dos vectores sean perpendiculares su producto escalar debe ser cero: \vec{v_r} \cdot \vec{v_s} = 0
1 \cdot 4 + m \cdot 1 + m \cdot 2 = 0 \Longrightarrow 4+3m=0 \Longrightarrow m=-\frac{4}{3}<(math>

– b) Parar que r y s sean paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales: \frac{1}{4}=\frac{m}{1}=\frac{m}{2}
De la triple igualdad obtendríamos dos valores distintos de m, por lo que no pueden ser paralelas para ningún valor de m