Selectividad Andalucía 2009-1-A4

Considera el punto y la recta definida por las ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} x+y &=&2 \\2x+y+z&=&7 \end{array} \right.$

– a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A
– b) Calcula la distancia del punto A a la recta r

SOLUCIÓN

– a) Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de la recta nos valdrá como vector normal del plano.
Dado que tenemos un punto por donde pasa y su vector normal, podemos determinar la ecuación del plano.

En primer lugar hallamos el vector director de la recta (mediante alguno de los procedimientos descritos en los apuntes. Usaremos este: obtenemos un par de puntos de la recta y a partir de ellos el vector director

Si $x=0 \longrightarrow y=2$ (en la 1ª ecuación)
$2 \cdot 0 + 2 + z = 7 \longrightarrow z=5$ (en la 2ª ecuación)
El primer punto sería

Si $y=0 \longrightarrow x=2$ (en la 1ª ecuación)
$2 \cdot 2 + 0 + z = 7 \longrightarrow z=3$ (en la 2ª ecuación)
El segundo punto sería

El vector director de la recta será , por tanto el plano tendrá como ecuación

Ahora le hacemos pasar por el punto y obtenemos el valor de
$2 \cdot 1 -2 \cdot (-2) -2 \cdot 1+D=0$
$2+4 -2+D=0 \longrightarrow D=-4$

Ecuación del plano que nos piden:
que se puede simplificar, quedando $\fbox{x -y-z-2=0}$

– b) Para hallar la distancia del punto (A) a la recta (r) usaremos la fórmula

$d(A,r) = \frac{|\vec{PA} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

donde

es un punto cualquiera de la recta y $\vec{v}$ su vector director.

Para hallar el vector $\vec{PA}$ usaremos uno de los puntos obtenidos en el apartado a), por ejemplo y el punto , quedando $\vec{PA}=(1,-4,-4)$
El vector director de la recta también lo tenemos del apartado anterior $\vec{v}=(2,-2,-2)$
Aplicamos la fórmula y calculamos: