Selectividad Andalucía 2009-3-A4

Se considera la recta r definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} x &=&1 \\y&=&1 \\z&=&\lambda -2 \end{array} \right.$
y la recta s definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} x &=&\mu \\y&=&\mu-1 \\z&=&-1 \end{array} \right.$
Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s

SOLUCIÓN

Usaremos el procedimiento descrito en este vídeo

Necesitamos un punto genérico y un vector director de cada recta (es fácil obtenerlos puesto que ambas rectas vienen en ecuaciones paramétricas)

Recta r :
– punto genérico $A(1,1,\lambda -2)$
– vector $\vec{u}=(0,0,1)$

Recta s :
– punto genérico $B(\mu,\mu-1,-1)$
– vector $\vec{v}=(1,1,0)$

Construimos el vector $\vec{AB}=(\mu-1,\mu-2,-\lambda+1)$

Aplicamos el procedimiento: el vector $\vec{AB}$ debe ser perpendicular a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$

$\vec{AB} \cdot u =0 \longrightarrow (\mu-1) \cdot 0 + (\mu-2) \cdot 0 + (-\lambda+1) \cdot 1 =0$
$\vec{AB} \cdot v =0 \longrightarrow (\mu-1) \cdot 1 + (\mu-2) \cdot 1 + (-\lambda+1) \cdot 0 =0$