Selectividad Andalucía 2011-5-A3

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Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A|=\frac{1}{2} y |B|=-2. Halla:

– a) |A^3|
– b) |A^{-1}|
– c) |-2A|
– d) |AB^t|
– e) rango(B)

SOLUCIÓN

Para resolver el ejercicio necesitamos recordar la propiedad |A \cdot B| = |A| \cdot |B|

– a) |A^3| = |A| \cdot |A| \cdot |A| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

– b) Sabemos que A \cdot A^{-1}=I. Por otra parte, |I|=1. Entonces:
|A \cdot A^{-1}|=|I|
|A| \cdot |A^{-1}|=1 \Longrightarrow |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac{1}{1/2}=2

– c) |-2A| = \left| \begin{array}{ccc} -2 \cdot a_{11} & -2 \cdot a_{12} & -2 \cdot a_{13} \\ -2 \cdot a_{21} & -2 \cdot a_{22} & -2 \cdot a_{23} \\ -2 \cdot a_{31} & -2 \cdot a_{32} & -2 \cdot a_{33} \end{array} \right |
|-2A|=-2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot |A| = -8 \cdot \frac{1}{2}=-4

– d) |A \cdot B^t| = |A| \cdot |B^t|= |A| \cdot |B|=\frac{1}{2} \cdot -2=-1
(Recordemos que el determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales)

– e) |B| \neq 0 \Longrightarrow r(B)=3