Selectividad Andalucía 2013 - J - B1

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Sea f \: : \: (-\infty, 1) \rightarrow R la función definida por
f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x+2e^{-x} & si & x \leq 0 \\ \\ \\ a \sqrt{b-x} & si & x > 0 \end{array} \right.
– a) Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio.
– b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica f en el punto de abcisa x=0

SOLUCIÓN

– a) Como f es derivable podemos expresar la derivada como

f\textsc{\char13}(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 1-2e^{-x} & si & x \leq 0 \\ \frac{-a}{2 \sqrt{b-x}} & si & x > 0 \end{array} \right.

Al ser derivable en x=0 sus derivadas laterales serán iguales:

f\textsc{\char13}(0^+) = f\textsc{\char13}(0^-)
1-2e^{-0} = \frac{-a}{2 \sqrt{b-0}} \Rightarrow -1=\frac{-a}{2\sqrt{b}} \Rightarrow a=2\sqrt{b}

Por otra parte, como derivable implica continua, f debe ser continua en x=a, lo cual nos indica que:
0+2e^{-0} = a \sqrt{b-0} \Rightarrow 2=a\sqrt{b}

Resolviendo el sistema \left\{ \begin{array}{l} a=2\sqrt{b} \\ 2=a\sqrt{b} \end{array} \right. obtenemos \fbox{a=2} y \fbox{b=1}

– b) Aplicamos las fórmulas de las rectas tangente y normal
y-f(a) = f\textsc{\char13}(a) \cdot (x-a) (recta tangente)
y-f(a) = \frac{-1}{f\textsc{\char13}(a)} \cdot (x-a) (recta normal)
para x=0 y f(x)=x+2e^{-x} (el 0 está definido por el primer trozo)

Obtenemos: \fbox{y-2=-x} y \fbox{y-2=x}