Selectividad Andalucía 2018 Septiembre A3

, por dani

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A \cdot B = B \cdot A

\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)

\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ a & b & c \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} c & -b & a \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)

Igualamos elemento a ekemento

-1=c
0=-b
0=a
a=0
b=0
c=-1

Por tanto los valores pedidos son:

\fbox{a=0} , \fbox{b=0} , \fbox{c=-1}

b) A^2 = A \cdot A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = I

A^1 = A
A^2 = I
A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A
A^4 = A^3 \cdot A = A \cdot A = I

A^n = \left\{ \begin{array}{cccc} A & si & n & impar \\ I & si & n & par \end{array} \right.

A^{2017} = A
A^{2018} = I

– c)
det(A) = 1 \neq 0 \longrightarrow \exists A^{-1}

Como A \cdot A = I \longrightarrow A^{-1}=A

Considera las siguientes matrices
A=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \qquad B=\left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)

– a) Determina, si existen, los valores de a, b y c para los que las matrices A y B conmutan
– b) Calcula A^2, A^3, A^{2017} y A^{2018}
– c) Calcula, si existe, la matriz inversa de A