Selectividad Andalucía 2018 Septiembre A3

Considera las siguientes matrices
$A=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \qquad B=\left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)$

– a) Determina, si existen, los valores de a, b y c para los que las matrices A y B conmutan
– b) Calcula , , $A^{2017}$ y $A^{2018}$
– c) Calcula, si existe, la matriz inversa de

SOLUCIÓN

$A \cdot B = B \cdot A$

$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ a & b & c \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} c & -b & a \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)$

Igualamos elemento a ekemento

Por tanto los valores pedidos son:

$\fbox{a=0} , \fbox{b=0} , \fbox{c=-1}$

b) $A^2 = A \cdot A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = I$