Selectividad Andalucía 2018 Septiembre B3

|

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left\{ \begin{array}{lllll} x &+y & +mz & = & m^2 \\ & y & -z & = & m \\ x &+my & +z & = & m \end{array} \right.

– a) Discute el sistema según los valores del parámetro m
– b) Resuélvelo para m=1. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z=2

SOLUCIÓN

\left\{ \begin{array}{lllll} x &+y & +mz & = & m^2 \\ & y & -z & = & m \\ x &+my & +z & = & m \end{array} \right.

Expresamos la matriz de los coeficientes y la ampliada

A|A^*\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & m^2 \\ 0 & 1 & -1 & m \\ 1 & m & 1 & m \end{array} \right )

|A| = 1+0-1-m+m-0=0

|A| =0 (independientemente de lo que valga «m»)

Por tanto rg(A) < 3 \longrightarrow en ningún caso puede ser S.C.D.

\left| \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right | = 1 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2

El rango de A es 2 independientemente de lo que valga «m»

Calculamos ahora el rango de la ampliada

\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & m^2 \\ 0 & 1 & m \\ 1 & m & m \end{array} \right | = m+0+m-m^2-m^2=-2m^2-2m

-2m^2-2m = 0 \Longleftrightarrow m=0 , m=1

– Si m \neq 0 y m \neq 1 \longrightarrow rg(A^*)=3
Como rg(A)=2 por el T.R. será Sist. Incompatible

– Si m= 0 ó m=1 \longrightarrow rg(A^*)=2
Como rg(A)=2 y nº incógnitas = 3, por el T.R. será Sist. Compatible Indeterminado.

– b) Para m=1 tenemos

A|A^*\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right )

Recuadramos el determinante que nos daba el rango de A

La fila que queda fuera del recuadro la eliminamos.
La columna que queda fuera del recuadro la pasamos al otro lado del signo igual

\left\{ \begin{array}{l} x +y = 1 - z \\ y = 1 + z \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{l} z = t \\ x +y = 1 - t \\ y = 1 + t \end{array} \right.

Por tanto la solución del sistema par m=1 es:

\left\{ \begin{array}{l} x = -2t \\ y = 1 + t \\ z= t \end{array} \right. \qquad \forall t \in R

Veamos una solución en la que z=2

z=2 \longrightarrow t=2

\left\{ \begin{array}{l} x = -2 \cdot 2 \longrightarrow x=-4 \\ y = 1 + 2 \longrightarrow y=3 \\ z= t \longrightarrow z=2 \end{array} \right.