Selectividad Andalucía 2018 Septiembre B3

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

$\left\{ \begin{array}{lllll} x &+y & +mz & = & m^2 \\ & y & -z & = & m \\ x &+my & +z & = & m \end{array} \right.$

– a) Discute el sistema según los valores del parámetro
– b) Resuélvelo para . Para dicho valor de , calcula, si es posible, una solución en la que

SOLUCIÓN

$\left\{ \begin{array}{lllll} x &+y & +mz & = & m^2 \\ & y & -z & = & m \\ x &+my & +z & = & m \end{array} \right.$

Expresamos la matriz de los coeficientes y la ampliada

$A|A^*\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & m^2 \\ 0 & 1 & -1 & m \\ 1 & m & 1 & m \end{array} \right )$

(independientemente de lo que valga «m»)

Por tanto $rg(A) < 3 \longrightarrow$ en ningún caso puede ser S.C.D.

$\left| \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right | = 1 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2$

El rango de A es 2 independientemente de lo que valga «m»

Calculamos ahora el rango de la ampliada

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & m^2 \\ 0 & 1 & m \\ 1 & m & m \end{array} \right | = m+0+m-m^2-m^2=-2m^2-2m$

$-2m^2-2m = 0 \Longleftrightarrow m=0 , m=1$

– Si $m \neq 0$ y $m \neq 1 \longrightarrow rg(A^*)=3$
Como por el T.R. será Sist. Incompatible

– Si ó $m=1 \longrightarrow rg(A^*)=2$
Como y nº incógnitas = 3, por el T.R. será Sist. Compatible Indeterminado.

– b) Para tenemos

$A|A^*\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right )$

Recuadramos el determinante que nos daba el rango de A

La fila que queda fuera del recuadro la eliminamos.
La columna que queda fuera del recuadro la pasamos al otro lado del signo igual

$\left\{ \begin{array}{l} x +y = 1 - z \\ y = 1 + z \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{l} z = t \\ x +y = 1 - t \\ y = 1 + t \end{array} \right.$

Por tanto la solución del sistema par m=1 es:

$\left\{ \begin{array}{l} x = -2t \\ y = 1 + t \\ z= t \end{array} \right. \qquad \forall t \in R$

Veamos una solución en la que

$z=2 \longrightarrow t=2$

$\left\{ \begin{array}{l} x = -2 \cdot 2 \longrightarrow x=-4 \\ y = 1 + 2 \longrightarrow y=3 \\ z= t \longrightarrow z=2 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

Palabras clave