Selectividad Andalucía 2018 Septiembre B3

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left\{
\begin{array}{lllll}
     x &+y & +mz & = & m^2
  \\  & y & -z & = & m
  \\ x &+my & +z & = & m
\end{array}
\right.

- a) Discute el sistema según los valores del parámetro m
- b) Resuélvelo para m=1. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z=2

SOLUCIÓN

\left\{
\begin{array}{lllll}
     x &+y & +mz & = & m^2
  \\  & y & -z & = & m
  \\ x &+my & +z & = & m
\end{array}
\right.

Expresamos la matriz de los coeficientes y la ampliada

A|A^*\left(
\begin{array}{ccc|c}
     1 & 1 & m & m^2
  \\  0 & 1 & -1  & m
  \\ 1 & m & 1  & m
\end{array}
\right )

|A| = 1+0-1-m+m-0=0

|A| =0 (independientemente de lo que valga «m»)

Por tanto rg(A) < 3 \longrightarrow en ningún caso puede ser S.C.D.

\left|
\begin{array}{ccc|c}
     1 & 1 
  \\  0 & 1
 \end{array}
\right | = 1 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2

El rango de A es 2 independientemente de lo que valga «m»

Calculamos ahora el rango de la ampliada

\left|
\begin{array}{ccc}
     1 & 1 &  m^2
  \\  0 & 1   & m
  \\ 1 & m   & m
\end{array}
\right | = m+0+m-m^2-m^2=-2m^2-2m

-2m^2-2m = 0 \Longleftrightarrow m=0 , m=1

- Si m \neq 0 y m \neq 1 \longrightarrow rg(A^*)=3
Como rg(A)=2 por el T.R. será Sist. Incompatible

- Si m= 0 ó m=1 \longrightarrow rg(A^*)=2
Como rg(A)=2 y nº incógnitas = 3, por el T.R. será Sist. Compatible Indeterminado.

- b) Para m=1 tenemos

A|A^*\left(
\begin{array}{ccc|c}
     1 & 1 & 1 & 1
  \\  0 & 1 & -1  & 1
  \\ 1 & 1 & 1  & 1
\end{array}
\right )

Recuadramos el determinante que nos daba el rango de A

La fila que queda fuera del recuadro la eliminamos.
La columna que queda fuera del recuadro la pasamos al otro lado del signo igual

\left\{
\begin{array}{l}
     x +y = 1 - z
  \\ y = 1 + z
\end{array}
\right.  \qquad \left\{
\begin{array}{l}
  z = t
  \\   x +y = 1 - t
  \\ y = 1 + t
\end{array}
\right.

Por tanto la solución del sistema par m=1 es:

\left\{
\begin{array}{l}
  x = -2t
  \\  y = 1 + t
  \\ z= t
\end{array}
\right.  \qquad \forall t \in R

Veamos una solución en la que z=2

z=2 \longrightarrow t=2

\left\{
\begin{array}{l}
  x = -2 \cdot 2 \longrightarrow x=-4
  \\  y = 1 + 2 \longrightarrow y=3
  \\ z= t \longrightarrow z=2
\end{array}
\right.