Selectividad Andalucía 2019 Junio A3

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Calcula todas las matrices X = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) tales que a+d=1, tienen determinante 1 y cumplen AX=XA, siendo A = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)

SOLUCIÓN

Expresamos las tres condiciones que no da el enunciado:

1) \fbox{a+d=1}

2) |X|=1 \longrightarrow \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right|= 1 \longrightarrow \fbox{ad-bc=1}

3) AX=XA \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)
Haciendo los productos obtenemos
\left( \begin{array}{cc} -c & -d \\ a & b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} b & -a \\ d & -c \end{array} \right)

Si igualamos elemento a elemento obtenemos las siguientes relaciones:

\left. \begin{array}{c} -c=b \\ a=d \\ -d=a \\ b=-c \end{array} \right\}
Hay dos repetidas, por tanto nos quedamos con \fbox{a=d} y \fbox{b=-c}

Con todas las ecuacionees anteriores podemos calcular los valores de a,b,c y d

\left. \begin{array}{c} a+d=1 \\ a=d \end{array} \right\} \longrightarrow \left. \begin{array}{c} a = \frac{1}{2} \\ d = \frac{1}{2} \end{array} \right.

\left. \begin{array}{c} ad-bc=1 \\ b=-c \end{array} \right\} \longrightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} -(-c) \cdot c = 1

\frac{1}{4}+c^2=1 \longrightarrow c^2=1- \frac{1}{4} \longrightarrow c^2=\frac{3}{4}
c = \sqrt{\frac{3}{4}} \longrightarrow c = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

Si c = +\frac{\sqrt{3}}{2} \longrightarrow b = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Si c = -\frac{\sqrt{3}}{2} \longrightarrow b = +\frac{\sqrt{3}}{2}

Por tanto, las dos matrices solución son:

X = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{-\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right) y X = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{-\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right)