Selectividad Catalunya

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Sea f : R \rightarrow R la función definida por f(x)=e^x(ax+b) , donde a y b son números reales.

– a) Calcule los valores de a y b para que la función tenga un extremo relativo en el punto (3,e^3)
– b) Para los valores de a y b obtenidos, diga qué tipo de extremo tiene la función en el punto citado.

SOLUCIÓN

a) Si f(x) tiene un extremo en (3, e^3) implica que:

– f^{\prime}(3)=0 (*)
– f(3)=e^3

(*) Recordemos que los extremos están en los puntos donde se anula la derivada

f^{\prime}(x)=e^x \cdot (ax+b) + e^x \cdot a
f^{\prime}(x)=e^x \cdot (ax+b+a)

f^{\prime}(3)=0
e^3 \cdot (a \cdot 3+b+a) = 0
e^3 \cdot (4a+b) = 0 \longrightarrow \textcolor{blue}{4a+b=0}

f(3)=e^3
e^3(3a + b)=e^3 \longrightarrow \textcolor{blue}{3a+b=1}

Resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones

\left. 4a + b = 0 \atop 3a + b = 1 \right\} \left.

4a + b = 0 \longrightarrow b=-4a
3a + (-4a) = 1 \rightarrow \textcolor{blue}{a=-1}
b=-4a \longrightarrow \textcolor{blue}{b=4}

b) Veamos si el extremo es máximo o mínimo.
Una forma de hacerlo es comprobando el signo de la segunda derivada

f^{\prime}(x)=e^x \cdot (ax+b+a)
Sustituimos a y b por los valores calculados en el apartado anterior
f^{\prime}(x)=e^x \cdot (-x+3)
f^{\prime \prime}(x)=e^x \cdot (-x+3) + e^x \cdot (-1)
f^{\prime \prime}(x)=e^x \cdot (-x+2)

f^{\prime \prime}(3)=e^3 \cdot (-3+2) = e^3 \cdot (-1) <0 \longrightarrow es un MÁXIMO