Selectividad Murcia Junio 2014 B3

, por dani

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Antes de nada recordemos que la bisectriz del primer cuadrante es la recta que pasa por los puntos (0,0) , (1,1) , (2,2), etc.
Tiene de ecuación y=x (su pediente es 1)

Por otra parte las rectas paralelas al eje OX son de la forma y=b, es decir, y=0 \cdot x +b (su pendiente es 0).

También debemos recordar que la pendiente de la recta tangente en un punto coincide con la derivada en ese punto (Interpretación geométrica de la derivada)

f(x) = x \cdot Ln(x)-x , se pide:
a) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Calcule la ecuación de dicha recta.

Si la tangente es paralela a la bisectriz y=x, entonces tiene la misma pendiente. Tiene 1 de pendiente, por lo tanto, la derivada en ese punto tiene que ser 1.

En definitiva, me están pidiendo un punto donde su derivada valga 1

f^{\prime}(x)=1 \cdot Ln(x)+x \cdot \frac{1}{x}-1 = Ln(x)

f^{\prime}(a)= Ln(a) = 1 \longrightarrow \textcolor{blue}{a=e}

Para calcular la ecuación de la recta tangente se usa la fórmula

y-f(a) = f^{\prime}(a) \cdot (x-a)

que para nuestro caso será:

y-f(e) = f^{\prime}(e) \cdot (x-e)

Ya sabemos que f^{\prime}(e)=1. Nos queda calcular f(e)

f(e) = e \cdot Ln(e)-e = e \cdot 1 -e = 0

La ecuación de la tangente quedaría entonces:

y-0 = 1 \cdot (x-e)


\textcolor{blue}{y=x-e}

b) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela al eje OX. Calcule la ecuación de dicha recta.

Igual que el apartado anterior, salvo que la pendiente es 0 en lugar de 1

f^{\prime}(a)= Ln(a) = 0 \longrightarrow \textcolor{blue}{a=1}

La ecuación de la recta tangente será ahora

y-f(1) = f^{\prime}(1) \cdot (x-1)

Ya sabemos que f^{\prime}(1)=0. Nos queda calcular f(1)

f(1) = 1 \cdot Ln(1)-1 = 1 \cdot 0 -1 = -1

La ecuación de la tangente quedaría entonces:

y-(-1) = 0 \cdot (x-1)


\textcolor{blue}{y+1=0}

En la siguiente imagen se pueden ver todo lo calculado antes

Dada la función f(x) = x \cdot Ln(x)-x , se pide:
a) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Calcule la ecuación de dicha recta.
b) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela al eje OX. Calcule la ecuación de dicha recta.