Sistema lineal 3x3 resuelto por el método de Gauss

Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lcc} 2x + 3y - 3z = -10\\ x + 2y - 2z = 3\\ 4x - 5y + z = -4 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

Expresamos la matriz ampliada
$\left\{ \begin{array}{lcc} 2x + 3y - 3z = -10\\ x + 2y - 2z = 3\\ 4x - 5y + z = -4 \end{array} \right. \qquad \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & -3\\ 1 & 2 & -2\\ 4 & -5 & 1 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} -10 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right )$

Intercambiamos las Filas 1 y 2

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2\\ 2 & 3 & -3\\ 4 & -5 & 1 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 3 \\ -10 \\ -4 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \\ 2 \cdot F_1 - F_2 \rightarrow F_2 \\ 4 \cdot F_1 - F_3 \rightarrow F_3 \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 13 & -9 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 3 \\ 16 \\ 16 \end{array} \right )$

El último cambio es $13F_2-F_3 \rightarrow F_3$

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -4 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 3 \\ 16 \\ 192 \end{array} \right )$

Después de los cambios de Gauss se convierte en un sistema escalonado, que se resuelve de abajo hacia arriba

$\left\{ \begin{array}{ccccl} x &+2y& - 2z &=& 3\\ & y & -z& =& 16\\ & & -4z& =& 192 \longrightarrow z =\frac{192}{-4} \longrightarrow \fbox{z =-48} \end{array} \right.$