Sistema lineal 3x3 resuelto por el método de Gauss

Resuelve por la regla de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones
\left\{ \begin{array}{lcc}
             2x + 3y - 3z = -10\\
             x + 2y - 2z = 3\\
             4x - 5y + z = -4
             \end{array}
   \right.

SOLUCIÓN

Expresamos la matriz ampliada
\left\{ \begin{array}{lcc}
               2x + 3y - 3z = -10\\
             x + 2y - 2z = 3\\
             4x - 5y + z = -4        
             \end{array}
   \right.
\qquad
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -3\\
1 & 2 & -2\\
4 & -5 & 1
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
 -10 \\
 3 \\
 -4 
\end{array}
\right )

Intercambiamos las Filas 1 y 2

\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -2\\
2 & 3 & -3\\
4 & -5 & 1
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
 3 \\
 -10 \\
 -4 
\end{array}
\right )
\begin{array}{c}
 \\
2 \cdot F_1 - F_2 \rightarrow F_2 \\
4 \cdot F_1 - F_3 \rightarrow F_3 
\end{array}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -2\\
0 & 1 & -1\\
0 & 13 & -9
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
 3 \\
 16 \\
 16 
\end{array}
\right )

El último cambio es 13F_2-F_3 \rightarrow F_3

\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -2\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & -4
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
 3 \\
 16 \\
 192 
\end{array}
\right )

Después de los cambios de Gauss se convierte en un sistema escalonado, que se resuelve de abajo hacia arriba

\left\{ \begin{array}{ccccl}
             2x &+3y& - 3z &=& -10\\
              &  y & -z& =& 16\\
              & &  -4z& =& 192 \longrightarrow z =\frac{192}{-4} \longrightarrow \fbox{z =-48}
             \end{array}
   \right.

Ahora nos vamos a la segunda ecuación

y - (-48) = 16 \longrightarrow y=16-48  \longrightarrow \fbox{y =-32}

Finalmente sustituimos en la primera ecuación

x + 2 \cdot (-32) - 2 \cdot (-48) = 3\longrightarrow \fbox{x =-29}