Sistemas de Ecuaciones Selectividad

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Discute el siguiente sistema en función de los valores del parámetro a
\left. \begin{array}{ccc} ax+2y+6z & = & 0 \\ 2x + ay+ 4z & = & 2 \\ 2x + ay+ 6z & = & a-2 \end{array} \right\}

SOLUCIÓN

Expresamos la matriz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada (A^*)

A | A^* =\left( \begin{array}{ccc|c} a &2 & 6 & 0 \\ 2 &a & 4 & 2 \\ 2 &a & 6 & a-2 \end{array} \right)

Empezamos calculando |A| y viendo para qué casos vale 0

|A|=\left| \begin{array}{ccc} a &2 & 6 \\ 2 &a & 4 \\ 2 &a & 6 \end{array} \right|=2a^2-8

|A|= 0 \Longleftrightarrow 2a^2-8 = 0 \Longleftrightarrow a^2=4 \Longleftrightarrow a= \pm 2

Si a \neq 2 y a \neq -2 \longrightarrow |A| \neq 0 \longrightarrow r(A)=3
Como r(A*) = 3 y nº incógnitas = 3, según el Teorema de Rouché se trata de un S.C.D. (Sistema Compatible Determinado).

Veamos el resto de casos

Si a=2

A | A^* =\left( \begin{array}{ccc|c} 2 &2 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 6 & 0 \end{array} \right)

\left| \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} \right|=-4 \neq 0 \longrightarrow r(A)=2
r(A*) =2 (pues tiene dos filas iguales)
nº incógnitas = 3

Por el Teorema de Rouché se trata de un S.C.I. (infinitas soluciones)

Si a=-2

A | A^* =\left( \begin{array}{ccc|c} -2 &2 & 6 & 0 \\ 2 & -2 & 4 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & -4 \end{array} \right)

\left| \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ -2 & 4 \end{array} \right|=20 \neq 0 \longrightarrow r(A)=2
Veamos lo que vale r(A*)

\left| \begin{array}{ccc} 2 & 6 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ -2 & 6 & -4 \end{array} \right|=-128 \neq 0 \longrightarrow r(A*)=3

Como tienen distinto rango, por el Teorema de Rouché se trata de un S.I. (Sistema Incompatible).

En resumen:

– Si a \neq 2 y a \neq -2 \longrightarrow S.C.D.
– Si a = 2 \longrightarrow S.C.I.
– Si a = -2 \longrightarrow S.I.