Vectores en el espacio. Distancia. Producto escalar y vectorial

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Considera los puntos A(1,0-1) , B(2,1,0) y C(1,1,0)

– a) Determina los vectores \vec{AB} y \vec{AC}
– b) Calcula la distancia entre los puntos A y B
– c) Calcula el producto escalar \vec{AB} \cdot \vec{AC}
– d) Calcula el producto vectorial \vec{AB} \times \vec{AC}
– e) Halla el área del triángulo determinado por los puntos A , B y C

SOLUCIÓN

– a) \vec{AB}=(1,1,1) ; \vec{AC}=(0,1,1)
– b) d(A,B) = |\vec{AB}| = \sqrt{1^2+1^1+1^2} = \sqrt{3}
– c) \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1\cdot 0 + 1\cdot 1 +1\cdot 1 = 2
– d) \vec{AB} \times \vec{AC} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right| =0 \cdot \vec{i} - 1 \cdot \vec{j} +1 \cdot \vec{k}
Por tanto: \vec{AB} \times \vec{AC} = (0,-1,1)
– e) Área =\frac{1}{2}\cdot | \vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}u^2