Velocidad de crecimiento de una población

, por dani

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En primer lugar vemos que nos dan la derivada de N respecto a t \:\:\frac{dN}{dt} , que también se puede expresar como N^\prime(t) y nos piden la función N(t), por tanto debemos integrar.

N(t) = \int 3 \sen (2 \pi t) dx


Recordamos la fórmula de las integrales inmediatas tipo seno o coseno

\int u^\prime(x) \cdot sen \: u(x) \:dx = - cos \: u(x) + C


Para usar la fórmula necesitamos multiplicar por 2\pi

\int 3 \sen (2 \pi t) dx = \textcolor{blue}{\frac{1}{2\pi}}\cdot 3 \int \textcolor{blue}{2\pi}\cdot \sen (2 \pi t) dx = \frac{3}{2\pi} \cdot (-cos(2 \pi t))+C


N(t) = \frac{-3 \cdot cos(2 \pi t)}{2 \pi} + C

Para calcular el valor de la constante de integración (C) usamos el dato N(0)=10

\frac{-3 \cdot cos(2 \pi \cdot 0)}{2 \pi} + C =10
\frac{-3 \cdot 1}{2 \pi} + C =10 \longrightarrow C=10+\frac{3}{2 \pi}

Entonces: \fbox{N(t) = \dfrac{-3 \cdot cos(2 \pi t)}{2 \pi} + \dfrac{3}{2 \pi} + 10}

¿Cómo se reflejan las variaciones estacionales de la velocidad de crecimiento en el tamaño de la población?
Veaamos la gráfica

Es una función periódica (se repite lo mismo cada año).
A principio de cada año la población alcanza su valor mínimo y empieza a crecer hasta mitad de año, donde alcanza el valor máximo, y vuelve a decrecer.

Si no tenemos la opción de ver la gráfica, podemos analizar la función mediante la fórmula.

Es periódica de periodo t=1
cos (2\pi (t+1)) = cos(2\pi t+ 2 \pi) = cos(2\pi t)
Como lo demás no varía, tenemos que N(t)=N(t+1)

Dado que es periódica de periodo t=1, se puede reducir el estudio al intervalo [0,1)
Estudiamos ahora monotonía y extremos.
N^\prime(t)=0 \longrightarrow 3 sen (2 \pi t)=0 \longrightarrow sen (2 \pi t)=0
Hay dos opciones para que el seno sea cero:

– 2 \pi t = 0 \longrightarrow t=0
– 2 \pi t = \pi \longrightarrow t=\frac{1}{2}

Los intervalos a considerar serían:

\left( 0,\frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2},1 \right) \left( 1,\frac{3}{2} \right) \cdots

Si calculamos N(1/4) nos da positivo, con lo cual CRECE
Si calculamos N(3/4) nos da negativo, con lo cual DECRECE

\left( 0,\frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2},1 \right) \left( 1,\frac{3}{2} \right) \cdots
\nearrow \searrow \nearrow \searrow

Los resultados anteriores, junto a la continuidad de la función, nos garantizan mínimos en 0,1,2,.. y máximos en 1/2, 3/2,5/2, ...

Con lo cual, llegaríamos a una gráfica como la de arriba y a las mismas conclusiones respecto a las variaciones estacionales.

Suponga que la velocidad de crecimiento de una población en el instante t sufre variaciones estacionales en su tamaño de acuerdo con la ecuación
\frac{dN}{dt} = 3 \sen (2 \pi t)
donde t se mide en años e indica el tamaño de la población en el instante t. Si N(0)=10 (en unidades de miles), calcule una expresión de N(t). ¿Cómo se reflejan las variaciones estacionales de la velocidad de crecimiento en el tamaño de la población?