Velocidad de crecimiento de una población

Suponga que la velocidad de crecimiento de una población en el instante sufre variaciones estacionales en su tamaño de acuerdo con la ecuación
$\frac{dN}{dt} = 3 \sen (2 \pi t)$
donde se mide en años e indica el tamaño de la población en el instante . Si (en unidades de miles), calcule una expresión de . ¿Cómo se reflejan las variaciones estacionales de la velocidad de crecimiento en el tamaño de la población?

SOLUCIÓN

En primer lugar vemos que nos dan la derivada de N respecto a t $\:\:\frac{dN}{dt}$ , que también se puede expresar como $N^\prime(t)$ y nos piden la función , por tanto debemos integrar.

$N(t) = \int 3 \sen (2 \pi t) dx$

Recordamos la fórmula de las integrales inmediatas tipo seno o coseno

$\int u^\prime(x) \cdot sen \: u(x) \:dx = - cos \: u(x) + C$

Para usar la fórmula necesitamos multiplicar por $2\pi$

$\int 3 \sen (2 \pi t) dx = \textcolor{blue}{\frac{1}{2\pi}}\cdot 3 \int \textcolor{blue}{2\pi}\cdot \sen (2 \pi t) dx = \frac{3}{2\pi} \cdot (-cos(2 \pi t))+C$

$N(t) = \frac{-3 \cdot cos(2 \pi t)}{2 \pi} + C$

Para calcular el valor de la constante de integración (C) usamos el dato

$\frac{-3 \cdot cos(2 \pi \cdot 0)}{2 \pi} + C =10$
$\frac{-3 \cdot 1}{2 \pi} + C =10 \longrightarrow C=10+\frac{3}{2 \pi}$

Entonces: $\fbox{N(t) = \dfrac{-3 \cdot cos(2 \pi t)}{2 \pi} + \dfrac{3}{2 \pi} + 10}$

¿Cómo se reflejan las variaciones estacionales de la velocidad de crecimiento en el tamaño de la población?
Veaamos la gráfica

Es una función periódica (se repite lo mismo cada año).
A principio de cada año la población alcanza su valor mínimo y empieza a crecer hasta mitad de año, donde alcanza el valor máximo, y vuelve a decrecer.

Si no tenemos la opción de ver la gráfica, podemos analizar la función mediante la fórmula.

Es periódica de periodo
$cos (2\pi (t+1)) = cos(2\pi t+ 2 \pi) = cos(2\pi t)$
Como lo demás no varía, tenemos que

Dado que es periódica de periodo , se puede reducir el estudio al intervalo
Estudiamos ahora monotonía y extremos.
$N^\prime(t)=0 \longrightarrow 3 sen (2 \pi t)=0 \longrightarrow sen (2 \pi t)=0$
Hay dos opciones para que el seno sea cero: