Velocidad de crecimiento de una población
SOLUCIÓN
En primer lugar vemos que nos dan la derivada de N respecto a t , que también se puede expresar como y nos piden la función , por tanto debemos integrar.
Recordamos la fórmula de las integrales inmediatas tipo seno o coseno
Para usar la fórmula necesitamos multiplicar por
Para calcular el valor de la constante de integración (C) usamos el dato
Entonces:
¿Cómo se reflejan las variaciones estacionales de la velocidad de crecimiento en el tamaño de la población?
Veaamos la gráfica
Es una función periódica (se repite lo mismo cada año).
A principio de cada año la población alcanza su valor mínimo y empieza a crecer hasta mitad de año, donde alcanza el valor máximo, y vuelve a decrecer.
Si no tenemos la opción de ver la gráfica, podemos analizar la función mediante la fórmula.
Es periódica de periodo
Como lo demás no varía, tenemos que
Dado que es periódica de periodo , se puede reducir el estudio al intervalo
Estudiamos ahora monotonía y extremos.
Hay dos opciones para que el seno sea cero:
–
–
Los intervalos a considerar serían:
Si calculamos nos da positivo, con lo cual CRECE
Si calculamos nos da negativo, con lo cual DECRECE
Los resultados anteriores, junto a la continuidad de la función, nos garantizan mínimos en 0,1,2,.. y máximos en 1/2, 3/2,5/2, ...
Con lo cual, llegaríamos a una gráfica como la de arriba y a las mismas conclusiones respecto a las variaciones estacionales.