ecuaciones logaritmicas

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Resuelve la ecuación \log{x} = 1 + \log{(22-x)}

SOLUCIÓN

Para resolver una ecuación logarítmica debemos tener clara la definición de logaritmo y las propiedades de los logaritmos.

Una vez que tengamos claro lo anterior, debemos entender la estrategia a seguir (que suele ser siempre la misma):

Debemos dejar a cada lado del signo igual un sólo logaritmo obteniendo una expresión del tipo:

\log (A) = \log (B)


en la que podremos cancelar logaritmos quedando:

(A) = (B)

Para conseguir un sólo logaritmo a cada lado del signo igual usaremos las propiedades de los logaritmos:
1) primero pasamos al exponente los números que multipliquen a un logaritmo
2) después transformamos sumas en producto y restas en división

\log{x} = 1 + \log{(22-x)}


\log{x} = \log{10} + \log{(22-x)}


\log{x} = \log{\left( 10 \cdot (22-x) \right)}


x = 10 \cdot (22-x)


x = 220 - 10x


x + 10x = 220


11x = 220


x = \frac{220}{11} \longrightarrow \fbox{x= 20}

Verificar las soluciones:

Recordemos que en las ecuaciones logarítmicas hay que verificar las soluciones.
En este caso, la solución x=20 es correcta, pero imagina que nos hubiese dado x=25, entonces:
\log{25} = 1 + \log{(22-25)}
obtendríamos logaritmo de un negativo (que no existe) y la solución no sería válida

Trucos usados

En este ejercicios hemos usado el truco de convertir un numero en un logaritmo decimal:
– 1 = \log {10}
– 2 = \log {100}
– 3 = \log {1000}
– etc.