sistemas 3x3 gauss

Miércoles 15 de noviembre de 2006, por dani

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Resuelve por el método de Gauss el sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{lcc} x + 2y + z = 9\\ x - y - z = -10\\ 2x - y + z = 5 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN:

$\left\{ \begin{array}{lcc} x + 2y + z = 9\\ x - y - z = -10\\ 2x - y + z = 5 \end{array} \right.$
Pasamos a matriz y seguimos las indicaciones de Gauss

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 1 & -1 & -1\\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 9 \\ -10 \\ 5 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \: \: \\ F_1-F_2 \longrightarrow F_2\\ 2F_1-F_3 \longrightarrow F_3 \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 2\\ 0 & 5 & 1 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 9 \\ 19 \\ 13 \end{array} \right )$

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 2\\ 0 & 5 & 1 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 9 \\ 19 \\ 13 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \: \: \\ \: \\ 5F_2-3F_3 \longrightarrow F_3 \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 9 \\ 19 \\ 56 \end{array} \right )$

Ahora volvemos a pasar a sistema
$\left\{ \begin{array}{lcc} x + 2y + z = 9\\ 3y +2z = 19\\ 7z = 56 \end{array} \right.$
y lo resolvemos de abajo hacia arriba

$7z = 56 \longrightarrow z = \frac{56}{7} \longrightarrow \fbox{z =8}$
$3y +2z = 19 \longrightarrow 3y+2 \cdot 8 = 19 \longrightarrow 3y=3 \longrightarrow \fbox{y =1}$
$x + 2y + z = 9 \longrightarrow x + 2 \cdot 1 + 8 = 9 \longrightarrow \fbox{x =-1}$