Resolver Sistema por el método de Gauss

, por dani

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en un sistema escalonado, que es más fácil de resolver.

Sistema normal Sistema escalonado
\left.
\begin{array}{r}
3x + 3y + 3z = 6 \\
2x + 3y + 5z = 11 \\
x - 5y + 6z = 29
\end{array}
\right\} Gauss
\longrightarrow
\left.
\begin{array}{r}
x + y + z = 2 \\
      y + 3z = 7 \\
              z = 3
\end{array}
\right\}

El método de Gauss reducido, en lugar de trabajar con las ecuaciones, trabaja con los coeficientes: usa la matriz ampliada del sistema

\left.
\begin{array}{r}
3x + 3y + 3z = 6 \\
2x + 3y + 5z = 11 \\
x - 5y + 6z = 29
\end{array}
\right\} \left.
\begin{array}{r}
x + y + z = 2 \\
      y + 3z = 7 \\
              z = 3
\end{array}
\right\}
\downarrow De sistema a matriz \uparrow De matriz a sistema
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 3 & 3\\
2 & 3 & 5\\
1 & -5 & 6
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
6 \\
11 \\
29 
\end{array}
\right )
Matriz normal
Gauss
\longrightarrow
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
2 \\
7 \\
3 
\end{array}
\right )
Matriz escalonada

Para convertir una matriz normal en una matriz escalonada se pueden usar las siguientes transformaciones de filas:

 Intercambiar dos filas
 Multiplicar o dividir una fila por un número
 Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número

Ejemplo 1: Dividir la 1ª fila (F1) por 3
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 3 & 3\\
2 & 3 & 5\\
1 & -5 & 6
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
6 \\
11 \\
29 
\end{array}
\right )
\begin{array}{c}
\frac{F_1}{3} \longrightarrow F_1 \\
 \: \:\\
 \: \:
\end{array}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 5\\
1 & -5 & 6
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
2 \\
11 \\
29 
\end{array}
\right )

Ejemplo 2: Restar las filas primera y tercera y poner el resultado en la tercera fila
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 5\\
1 & -5 & 6
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
2 \\
11 \\
29 
\end{array}
\right )
\begin{array}{c}
 \: \: \\
 \: \:\\
 F_1-F_3 \longrightarrow F_3
\end{array}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 5\\
0 & 6 & -5
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
2 \\
11 \\
-27 
\end{array}
\right )

Las transformaciones de filas se deben hacer siguiendo un orden y teniendo presente que el objetivo es conseguir los tres ceros:

\left(
\begin{array}{ccc}
\times & \times & \times\\
\times & \times & \times\\
\times & \times & \times
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
\times \\
\times \\
\times 
\end{array}
\right ) Gauss
\longrightarrow
\left(
\begin{array}{ccc}
\fbox{\times} & \times & \times\\
0 & \fbox{\times} & \times\\
0 & 0 & \times
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
\times \\
\times \\
\times 
\end{array}
\right )

Para hacer cada uno de los ceros hay que hacer transformaciones usando dos filas:
 La fila donde queremos poner el cero
 La fila del recuadro \fbox{\times}superior

El orden a seguir es:
 1) hacer los dos ceros de la 1ª columna
 2) hacer el cero de la 2ª columna

Veamos un ejemplo:

Resolver sistema por Gauss
Resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss

Ver otro ejemplo resuelto