Resolver Sistema por el método de Gauss

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El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en un sistema escalonado, que es más fácil de resolver.

Sistema normal Sistema escalonado
\left. \begin{array}{r} 3x + 3y + 3z = 6 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{array} \right\} Gauss
\longrightarrow		 \left. \begin{array}{r} x + y + z = 2 \\ y + 3z = 7 \\ z = 3 \end{array} \right\}

El método de Gauss reducido, en lugar de trabajar con las ecuaciones, trabaja con los coeficientes: usa la matriz ampliada del sistema

\left. \begin{array}{r} 3x + 3y + 3z = 6 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{array} \right\} \left. \begin{array}{r} x + y + z = 2 \\ y + 3z = 7 \\ z = 3 \end{array} \right\}
\downarrow De sistema a matriz \uparrow De matriz a sistema
\left( \begin{array}{ccc} 3 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 5\\ 1 & -5 & 6 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 6 \\ 11 \\ 29 \end{array} \right )
Matriz normal		 Gauss
\longrightarrow		 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 2 \\ 7 \\ 3 \end{array} \right )
Matriz escalonada

Para convertir una matriz normal en una matriz escalonada se pueden usar las siguientes transformaciones de filas:

– Intercambiar dos filas
– Multiplicar o dividir una fila por un número
– Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número

Ejemplo 1: Dividir la 1ª fila (F1) por 3
\left( \begin{array}{ccc} 3 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 5\\ 1 & -5 & 6 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 6 \\ 11 \\ 29 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \frac{F_1}{3} \longrightarrow F_1 \\ \: \:\\ \: \: \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 5\\ 1 & -5 & 6 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 2 \\ 11 \\ 29 \end{array} \right )

Ejemplo 2: Restar las filas primera y tercera y poner el resultado en la tercera fila
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 5\\ 1 & -5 & 6 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 2 \\ 11 \\ 29 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \: \: \\ \: \:\\ F_1-F_3 \longrightarrow F_3 \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 5\\ 0 & 6 & -5 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 2 \\ 11 \\ -27 \end{array} \right )

Las transformaciones de filas se deben hacer siguiendo un orden y teniendo presente que el objetivo es conseguir los tres ceros:

\left( \begin{array}{ccc} \times & \times & \times\\ \times & \times & \times\\ \times & \times & \times \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} \times \\ \times \\ \times \end{array} \right ) Gauss
\longrightarrow		 \left( \begin{array}{ccc} \fbox{\times} & \times & \times\\ 0 & \fbox{\times} & \times\\ 0 & 0 & \times \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} \times \\ \times \\ \times \end{array} \right )

Para hacer cada uno de los ceros hay que hacer transformaciones usando dos filas:
– La fila donde queremos poner el cero
– La fila del recuadro \fbox{\times}superior

El orden a seguir es:
– 1) hacer los dos ceros de la 1ª columna
– 2) hacer el cero de la 2ª columna

Veamos un ejemplo:

Resolver sistema por Gauss
Resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss

Ver otro ejemplo resuelto