Resolver Sistema por el método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en un sistema escalonado, que es más fácil de resolver.

Sistema normal Sistema escalonado
\left.
\begin{array}{r}
3x + 3y + 3z = 6 \\
2x + 3y + 5z = 11 \\
x - 5y + 6z = 29
\end{array}
\right\} Gauss
\longrightarrow
\left.
\begin{array}{r}
x + y + z = 2 \\
      y + 3z = 7 \\
              z = 3
\end{array}
\right\}

El método de Gauss reducido, en lugar de trabajar con las ecuaciones, trabaja con los coeficientes: usa la matriz ampliada del sistema

\left.
\begin{array}{r}
3x + 3y + 3z = 6 \\
2x + 3y + 5z = 11 \\
x - 5y + 6z = 29
\end{array}
\right\} \left.
\begin{array}{r}
x + y + z = 2 \\
      y + 3z = 7 \\
              z = 3
\end{array}
\right\}
\downarrow De sistema a matriz \uparrow De matriz a sistema
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 3 & 3\\
2 & 3 & 5\\
1 & -5 & 6
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
6 \\
11 \\
29 
\end{array}
\right )
Matriz normal
Gauss
\longrightarrow
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
2 \\
7 \\
3 
\end{array}
\right )
Matriz escalonada

Para convertir una matriz normal en una matriz escalonada se pueden usar las siguientes transformaciones de filas:

- Intercambiar dos filas
- Multiplicar o dividir una fila por un número
- Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número

Ejemplo 1: Dividir la 1ª fila (F1) por 3
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 3 & 3\\
2 & 3 & 5\\
1 & -5 & 6
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
6 \\
11 \\
29 
\end{array}
\right )
\begin{array}{c}
\frac{F_1}{3} \longrightarrow F_1 \\
 \: \:\\
 \: \:
\end{array}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 5\\
1 & -5 & 6
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
2 \\
11 \\
29 
\end{array}
\right )

Ejemplo 2: Restar las filas primera y tercera y poner el resultado en la tercera fila
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 5\\
1 & -5 & 6
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
2 \\
11 \\
29 
\end{array}
\right )
\begin{array}{c}
 \: \: \\
 \: \:\\
 F_1-F_3 \longrightarrow F_3
\end{array}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 5\\
0 & 6 & -5
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
2 \\
11 \\
-27 
\end{array}
\right )

Las transformaciones de filas se deben hacer siguiendo un orden y teniendo presente que el objetivo es conseguir los tres ceros:

\left(
\begin{array}{ccc}
\times & \times & \times\\
\times & \times & \times\\
\times & \times & \times
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
\times \\
\times \\
\times 
\end{array}
\right ) Gauss
\longrightarrow
\left(
\begin{array}{ccc}
\fbox{\times} & \times & \times\\
0 & \fbox{\times} & \times\\
0 & 0 & \times
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
\times \\
\times \\
\times 
\end{array}
\right )

Para hacer cada uno de los ceros hay que hacer transformaciones usando dos filas:
- La fila donde queremos poner el cero
- La fila del recuadro \fbox{\times}superior

El orden a seguir es:
- 1) hacer los dos ceros de la 1ª columna
- 2) hacer el cero de la 2ª columna

Veamos un ejemplo:

Ver otro ejemplo resuelto