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Posición Relativa: Dos Circunferencias

Halla la posición relativa de las circunferencia x^2+y^2-6x+2y-6=0 y x^2+y^2+2x-4y-4=0

SOLUCIÓN

Nos basaremos en la teoría sobre la posición relativa de dos circunferencias.
Necesitaremos por tanto, calcular la distancia entre sus centros y la suma y diferencia de sus radios. Con ello podremos encuadrarlas en uno de los 5 casos posibles.

Para calcular centro y radio de una circunferencia usaremos la ecuación general de la circunferencia
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
y sus relaciones
D=-2a
E=-2b
F=a^2+b^2-r^2

Para la circunferencia x^2+y^2-6x+2y-6=0 tenemos:
-6=-2a \longrightarrow a=3
2=-2b\longrightarrow b=-1
-6=a^2+b^2-r^2 \longrightarrow r^2 = 3^2+(-1)^2+6=16 \Rightarrow r=4
Su centro es C_1(3,-1) y su radio es R_1=4

Para la circunferencia x^2+y^2+2x-4y-4=0 tenemos:
2=-2a \longrightarrow a=-1
-4=-2b\longrightarrow b=2
-4=a^2+b^2-r^2 \longrightarrow r^2 = (-1)^2+2^2+4=9 \Rightarrow r=3
Su centro es C_2(-1,2) y su radio es R_2=3

La distancia entre los centros es:
d=d(C_1,C_2) = |\vec{C_1C_2}|=+\sqrt{(-1-3)^2+(2-(-1))^2}=+\sqrt{25}= 5
Hemos usado la fórmula del módulo de un vector

Por tanto los datos que tenemos son:
d=5
R_1+R_2=7
R_1-R_2=1

1 < 5 < 7
R_1-R_2 < d < R_1+R_2

Se trata de circunferencias secantes (caso 5 de la posición relativa entre dos circunferencias)

Podemos usar un programa gráfico (como geogebra) para dibujar las circunferencias y comprobar que hemos resuelto bien el ejercicio.

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