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En respuesta a:

Calcular límite de una función

\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \left( \sqrt{x^2-x} - x \right)

SOLUCIÓN

Se trata de una indeterminación del tipo \infty - \infty que podemos resolver multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada

\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \left( \sqrt{x^2-x} - x \right) = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{\left( \sqrt{x^2-x} - x \right) \cdot \left( \sqrt{x^2-x} + x \right)}{\left( \sqrt{x^2-x} + x \right)}=

 \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{x^2-x-x^2}{\left( \sqrt{x^2-x} + x \right)} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{-x}{ \sqrt{x^2-x} + x }

Recordemos que \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \sqrt{x^2-x} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \sqrt{x^2}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: x

Entonces tenemos:

 \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{-x}{ \sqrt{x^2-x} + x } =  \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{-x}{x+x} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{-x}{2x}=\frac{-1}{2}

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