Calcular límite de una función

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \left( \sqrt{x^2-x} - x \right)$

SOLUCIÓN

Indeterminación $\infty-\infty$ — conjugado $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\sqrt{x^2-x} - x\right)$

Multiplicamos y dividimos por el conjugado $\sqrt{x^2-x}+x$ :

$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\sqrt{x^2-x} - x\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{\left(\sqrt{x^2-x}-x\right)\left(\sqrt{x^2-x}+x\right)}{\sqrt{x^2-x}+x}$

Operamos el numerador (diferencia de cuadrados):

$=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^{2} - x-\left(x^{2}\right)}{\sqrt{x^2-x}+x}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}$

En el denominador, dentro de la raíz nos quedamos con el término de mayor grado:

$=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{-x}{2x}$

Tomamos los términos de mayor grado del numerador y del denominador y despreciamos el resto:

$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{-x}{2x}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{-x}{2x}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$

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