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Funciones Asíntotas

Halla las asíntotas de la función:
y = \frac{x^3}{2x^2-8}

SOLUCIÓN

y = \frac{x^3}{2x^2-8}

Asíntotas verticales

Las buscamos entre los valores que anulan el denominador
2x^2-8=0 \longrightarrow 2x^2=8 \longrightarrow x^2=4 \longrightarrow x=\pm2

\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^3}{2x^2-8} = \frac{2^3}{2 \cdot 2^2-8}=\frac{8}{0} \longrightarrow \infty \Rightarrow A.V. \:\: \textcolor{blue}{x=2}

\lim_{x \rightarrow -2} \frac{x^3}{2x^2-8} = \frac{(-2)^3}{2 \cdot (-2)^2-8}=\frac{-8}{0} \longrightarrow \infty \Rightarrow A.V. \:\: \textcolor{blue}{x=-2}

Veamos el comportamiento de la función respecto a las asíntotas. Para ello estudiamos los límites laterales

\lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{x^3}{2x^2-8} = \frac{2^3}{0^-}=-\infty
\lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{x^3}{2x^2-8} = \frac{2^3}{0^+}=+\infty

\lim_{x \rightarrow -2^-} \frac{x^3}{2x^2-8} = \frac{(-2)^3}{0^+}=-\infty
\lim_{x \rightarrow -2^+} \frac{x^3}{2x^2-8} = \frac{(-2)^3}{0^-}=+\infty

En la siguiente gráfica se puede ver el comportamiento de la función respecto de sus asíntotas

Asíntotas horizontales

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^3}{2x^2-8} = \infty

Al ser el grado del numerador mayor, el límite es infinito, por tanto no hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas

La asíntota oblicua es suna recta de ecuación y=mx+n , donde m y n vienen dadas por las expresiones siguientes:

m = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}
n =  \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[f(x) -mx\right]

En nuestro caso sería:

m = \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x^3}{2x^2-8}  : x \right)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^3}{2x^3-8x}= \frac{1}{2}

n =  \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[\frac{x^3}{2x^2-8} -\frac{1}{2}x\right]=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[\frac{2x^3-x \cdot (2x^2-8)}{2 \cdot (2x^2-8)} \right]=
=  \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{8x}{4x^2-16} = 0
El límite vale 0 porque el grado del denominador es mayor

Por tanto tenemos m=1/2 y n=0
Entonces, la ecuación de la asíntota oblicua es \textcolor{blue}{y=\frac{1}{2}x}

En la siguiente imagen podemos ver la gráfica con todas sus asíntotas:

moderación a priori

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