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Estudio Global de Funciones

Realiza un estudio global (dominio, simetrías, corte con los ejes, asíntotas, monotonía, extremos y representación gráfica) de la función:
f(x) = x^3-3x^2

SOLUCIÓN

f(x) = x^3-3x^2 es una función polinómica.
Las funciones polinómicas son continuas en todo R y su dominio es todos los números reales

Dominio

\color{blue}{Dom(f) = R}

Simetrías

f(x) = x^3-3x^2
f(-x) = (-x)^3-3(-x)^2 = -x^3-3x^2
No hay simetría.

Corte con los ejes

x= 0 \longrightarrow y=0^3-3 \cdot 0^2 = 0
Punto de corte \textcolor{blue}{(0,0)}

y= 0 \longrightarrow 0=x^3-3x^2
x^3-3x^2=0 \longrightarrow x^2(x-3)=0 \longrightarrow x=0 \:;\:x=3
Puntos de corte \textcolor{blue}{(0,0)} y \textcolor{blue}{(3,0)}

Monotonía y extremos

f^{\prime}(x)=3x^2-6x
f^{\prime}(x)=0 \longrightarrow 3x^2-6x=0 \longrightarrow x(3x-6)=0 ecuación que tiene como soluciones x=0 , x=2
Intervalos a considerar:

(-\infty,0) (0,2) (2, +\infty)

Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo
f^{\prime}(-1)=3 \cdot (-1)^2-6 \cdot (-1)=9>0 \rightarrow CRECE
f^{\prime}(1)=3 \cdot 1^2-6 \cdot 1=-3<0 \rightarrow DECRECE
f^{\prime}(3)=3 \cdot 3^2-6 \cdot 3=9>0 \rightarrow CRECE

(-\infty,0) (0,2) (2, +\infty)
\nearrow \searrow \nearrow

Los resultados de la monotonía y el hecho de ser función polinómica nos asegura que tiene un máximo local en x=0 y un mínimo local en x=2.
Calculamos la segunda coordenada de los extremos usando la función original

f(0)=0 \longrightarrow \textcolor{blue}{MAX(0,0)}
f(2)=2^3-3 \cdot 2^2=-4 \longrightarrow \textcolor{blue}{MIN(2,-4)}

Curvatura y puntos de inflexión

f^{\prime\prime}(x)=6x-6
f^{\prime\prime}(x)=0 \longrightarrow 6x-6=0 \longrightarrow x=1
Intervalos a considerar para la curvatura:

(-\infty,1) (1, +\infty)

Estudiamos el signo de la segunda derivada en cada intervalo

f^{\prime\prime}(0)=6 \cdot 0-6 = -6 <0  \longrightarrow CÓNCAVA
f^{\prime\prime}(2)=6 \cdot 2-6 = 6 >0  \longrightarrow CONVEXA

(-\infty,1) (1, +\infty)
\cap  \cup

Veamos si x=1 es punto de inflexión
f^{\prime\prime\prime}(x)=6
f^{\prime\prime\prime}(2)=6 \neq 0 \rightarrow ES INFLEXIÓN
Calculamos su segunda coordenada
f(1) = 1^3-3 \cdot 1^2 = -2
Punto de inflexión \rightarrow \textcolor{blue}{(1,-2)}

Con todo lo anterior, podemos dibujar la gráfica

moderación a priori

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