Estudio Global de Funciones

Realiza un estudio global (dominio, simetrías, corte con los ejes, asíntotas, monotonía, extremos y representación gráfica) de la función:

SOLUCIÓN

es una función polinómica.
Las funciones polinómicas son continuas en todo R y su dominio es todos los números reales

Dominio

$\color{blue}{Dom(f) = R}$

Simetrías

No hay simetría.

Corte con los ejes

$x= 0 \longrightarrow y=0^3-3 \cdot 0^2 = 0$
Punto de corte $\textcolor{blue}{(0,0)}$

$y= 0 \longrightarrow 0=x^3-3x^2$
$x^3-3x^2=0 \longrightarrow x^2(x-3)=0 \longrightarrow x=0 \:;\:x=3$
Puntos de corte $\textcolor{blue}{(0,0)}$ y $\textcolor{blue}{(3,0)}$

Monotonía y extremos

$f^{\prime}(x)=3x^2-6x$
$f^{\prime}(x)=0 \longrightarrow 3x^2-6x=0 \longrightarrow x(3x-6)=0$ ecuación que tiene como soluciones ,
Intervalos a considerar:

$(-\infty,0)$

$(2, +\infty)$

Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo
$f^{\prime}(-1)=3 \cdot (-1)^2-6 \cdot (-1)=9>0 \rightarrow$ CRECE
$f^{\prime}(1)=3 \cdot 1^2-6 \cdot 1=-3<0 \rightarrow$ DECRECE
$f^{\prime}(3)=3 \cdot 3^2-6 \cdot 3=9>0 \rightarrow$ CRECE

$(-\infty,0)$		$(2, +\infty)$
$\nearrow$	$\searrow$	$\nearrow$

Los resultados de la monotonía y el hecho de ser función polinómica nos asegura que tiene un máximo local en y un mínimo local en .
Calculamos la segunda coordenada de los extremos usando la función original

$f(0)=0 \longrightarrow \textcolor{blue}{MAX(0,0)}$
$f(2)=2^3-3 \cdot 2^2=-4 \longrightarrow \textcolor{blue}{MIN(2,-4)}$

Curvatura y puntos de inflexión

$f^{\prime\prime}(x)=6x-6$
$f^{\prime\prime}(x)=0 \longrightarrow 6x-6=0 \longrightarrow x=1$
Intervalos a considerar para la curvatura:

$(-\infty,1)$

$(1, +\infty)$

Estudiamos el signo de la segunda derivada en cada intervalo

$f^{\prime\prime}(0)=6 \cdot 0-6 = -6 <0 \longrightarrow$ CÓNCAVA
$f^{\prime\prime}(2)=6 \cdot 2-6 = 6 >0 \longrightarrow$ CONVEXA

$(-\infty,1)$	$(1, +\infty)$
$\cap$	$\cup$

Veamos si x=1 es punto de inflexión
$f^{\prime\prime\prime}(x)=6$
$f^{\prime\prime\prime}(2)=6 \neq 0 \rightarrow$ ES INFLEXIÓN
Calculamos su segunda coordenada
$f(1) = 1^3-3 \cdot 1^2 = -2$
Punto de inflexión $\rightarrow \textcolor{blue}{(1,-2)}$

Con todo lo anterior, podemos dibujar la gráfica