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Ejercicio Continuidad

Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua en todo R

f(x) = \left\{
\begin{array}{rcr}
1+cos \: x  & si & x \leq 0 \\
2(a-x) & si & 0 < x < 1  \\
\frac{b}{x^2} & si & x \geq 1
\end{array}
\right.

SOLUCIÓN

En (-\infty,0) es continua?
1 + cos(x) es continua en R y por tanto también lo es en(-\infty,0)

En (0,1) es continua?
2(a-x) es una función polinómica continua en R y por tanto también lo es en(0,1)

En (1, +\infty) es continua?
\frac{b}{x^2} es continua en R-\{0\}, por tanto es continua en (1, +\infty)

Por tanto, tenemos garantizada la continuidad en los 3 intervalos anteriores, independientemente de lo que valgan a y b

Veamos ahora la continuidad en los puntos críticos (puntos que separan dos trozos)

En x=0 ¿es continua?

Debemos aplicar la definición de continuidad en un punto

f(0) = 1 + cos(0) = 1+1=2

\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = 1 + cos(0) = 1+1=2

\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = 2(a-0) = 2a

Para que sea continua en x=0, los tres resultados anteriores deben ser iguales, por tanto 2a=2 \longrightarrow \textcolor{blue}{a=1}

En x=1 ¿es continua?

f(1) = \frac{b}{1^2}=b

\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = 2(a-1) = 2(1-1)=0

\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \frac{b}{1^2}=b

Para que sea continua en x=0, los tres resultados anteriores deben ser iguales, por tanto  \textcolor{blue}{b=0}

La función será continua en todo R cuando a=1 y b=0

moderación a priori

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