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Inferencia Estadística

Un estudio realizado sobre 100 usuarios revela que un automóvil recorre anualmente un promedio de 15200 km con una desviación típica de 2250 km.

- a) Determine un intervalo de confianza, al 99\% , para la cantidad promedio de kilómetros recorridos.
- b) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido no sea superior a 500 km, con igual confianza?

SOLUCIÓN

a) Nos piden un intervalo de confianza para la media, por lo que debemos usar la fórmula:

I = \left( \overline{x}-Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},  \overline{x}+Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

Los datos que aporta el enunciado son:

n=100
\overline{x}=15200
\sigma=2250
Confianza: 99\%

Calculamos el valor crítico z_c para el 99\%

P(Z \leq z_c) = \frac{1+0.99}{2} = 0.995

Buscamos en el interior de la tabla el número más próximo a 0.995 y obtenemos un valor de z_c=2.575

Ya tenemos todos los datos. Ahora podemos calcular el intervalo de confianza

\left( \overline{x}-Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},  \overline{x}+Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

\left(15200-2.575 \cdot \frac{2250}{\sqrt{100}},  15200+2.575 \cdot \frac{2250}{\sqrt{100}}\right)

\left(15200-579.375,  15200+579.375\right) =\fbox{(14620.625,15779.375)}

b) Si queremos que el error sea E \leq 500 entonces como

E=Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, tendremos

Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq 500

2.575 \cdot \frac{2250}{\sqrt{n}} \leq 500

2.575 \cdot 2250 \leq 500 \cdot \sqrt{n}

\frac{2.575 \cdot 2250}{500} \leq \sqrt{n}

11.5875 \leq \sqrt{n}

11.5875^2 \leq n

134.27 \leq n

Para que el error no sea superior a 500, el tamaño de la muestra debe ser \fbox{n \geq 135}

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