Inferencia Estadística

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Un estudio realizado sobre 100 usuarios revela que un automóvil recorre anualmente un promedio de 15200 km con una desviación típica de 2250 km.

a) Determine un intervalo de confianza, al $99\%$ , para la cantidad promedio de kilómetros recorridos.
b) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido no sea superior a 500 km, con igual confianza?

SOLUCIÓN

a) Nos piden un intervalo de confianza para la media, por lo que debemos usar la fórmula:

$I = \left( \overline{x}-Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos que aporta el enunciado son:

$\overline{x}=15200$
$\sigma=2250$
Confianza: $99\%$

Calculamos el valor crítico para el $99\%$

$P(Z \leq z_c) = \frac{1+0.99}{2} = 0.995$

Buscamos en el interior de la tabla el número más próximo a 0.995 y obtenemos un valor de

Ya tenemos todos los datos. Ahora podemos calcular el intervalo de confianza

$\left( \overline{x}-Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

$\left(15200-2.575 \cdot \frac{2250}{\sqrt{100}}, 15200+2.575 \cdot \frac{2250}{\sqrt{100}}\right)$

$\left(15200-579.375, 15200+579.375\right) =\fbox{(14620.625,15779.375)}$

b) Si queremos que el error sea $E \leq 500$ entonces como

$E=Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , tendremos

$Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq 500$

$2.575 \cdot \frac{2250}{\sqrt{n}} \leq 500$

$2.575 \cdot 2250 \leq 500 \cdot \sqrt{n}$

$\frac{2.575 \cdot 2250}{500} \leq \sqrt{n}$

$11.5875 \leq \sqrt{n}$

$11.5875^2 \leq n$

$134.27 \leq n$

Para que el error no sea superior a 500, el tamaño de la muestra debe ser $\fbox{n \geq 135}$

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