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Selectividad Andalucía Septiembre 2018 B2

El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años de vida viene dado por la expresión B(t)=\left\{
\begin{array}{lr}
 -0.04t^2+2.4t & 0 \leq t < 40 \\
 & \\
\frac{40t-320}{t} & 40 \leq t \leq 50
\end{array}
\right.
donde t es el tiempo transcurrido.

- a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función B(t) en el intervalo [0,50].
- b) Estudie la monotonía de la función B(t) y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
- c) Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.

SOLUCIÓN

Continuidad

-0.04t^2+2.4t es continua en R y por tanto en (0,40)

\frac{40t-320}{t} es continua en R - \{0\} y por tanto en (40,50)

Veamos la contiuidad en t=40

- B(40)=\frac{40 \cdot 40 -320}{40} = 32

- \lim_{x \rightarrow 40^-}B(t)=-0.04 \cdot 40^2+2.4 \cdot 40=32

- \lim_{x \rightarrow 40^+}B(t)=\frac{40 \cdot 40 -320}{40} = 32

Como los 3 resultados anteriores coinciden, la función es continua en t=40 y por tanto, es continua en todo el intervalo [0,50]

Derivabilidad

En (0,40) es derivable y su derivada es -0.08t + 2.4

En (40,50) es derivable y su derivada es \frac{40 \cdot t -(40t-320) \cdot 1}{t^2}=\frac{320}{t^2}

Veamos la derivabilidad en t=40

B^{\prime}(40^-)=-0.08 \cdot 40 + 2.4 = -0,8

B^{\prime}(40^+)=\frac{320}{40^2}=0.2

Como no coinciden las derivadas laterales, no es derivable en t=40

Por tanto, B(t) es derivable en (0,50) - \{40\} y su derivada es:

B(t)=\left\{
\begin{array}{lr}
-0.08t + 2.4 & 0 \leq t < 40 \\
 & \\
\frac{320}{t^2} & 40 < t < 50
\end{array}
\right.

Monotonía

-0.08t + 2.4=0 \longrightarrow t=\frac{2.4}{0.08}=30

\frac{320}{t^2} =0 \longrightarrow Sin Solución

Los intervalos a considerar son

(0,30) (30,40) (40,50)

Tomamos un punto de cada intervalo y analizamos el signo de la derivada

1 \in (0,30) \longrightarrow -0.08 \cdot 1 + 2.4 >0 \longrightarrowCRECE

35 \in (30,40) \longrightarrow -0.08 \cdot 35 + 2.4 <0 \longrightarrowDECRECE

45 \in (40,50) \longrightarrow \frac{320}{45^2} >0 \longrightarrowCRECE

La monotonía queda por tanto así:

(0,30) (30,40) (40,50)
\nearrow \searrow \nearrow

Tenemos un máximo local en t=30 (el vértice de la parábola) y otro máximo local en t=50 (el punto más alto del segundo trozo)

B(30)=-0.04 \cdot 40^2+2.4 \cdot 30 = 36

B(50)=\frac{40 \cdot 50-320}{50} = 33.6

Por tanto, los máximos beneficios son 36000 euros, que se obtienen a los 30 años

El beneficio crece hasta los 30 años.
A partir de los 30 años decrece hasta los 40 años, que vuelve a crecer hasta los 50 años

moderación a priori

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