Selectividad Andalucía Septiembre 2018 B2

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El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años de vida viene dado por la expresión $B(t)=\left\{ \begin{array}{lr} -0.04t^2+2.4t & 0 \leq t < 40 \\ & \\ \frac{40t-320}{t} & 40 \leq t \leq 50 \end{array} \right.$
donde es el tiempo transcurrido.

– a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función en el intervalo .
– b) Estudie la monotonía de la función y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
– c) Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.

SOLUCIÓN

Continuidad

es continua en R y por tanto en

$\frac{40t-320}{t}$ es continua en $R - \{0\}$ y por tanto en

Veamos la contiuidad en

– $B(40)=\frac{40 \cdot 40 -320}{40} = 32$

– $\lim_{x \rightarrow 40^-}B(t)=-0.04 \cdot 40^2+2.4 \cdot 40=32$

– $\lim_{x \rightarrow 40^+}B(t)=\frac{40 \cdot 40 -320}{40} = 32$

Como los 3 resultados anteriores coinciden, la función es continua en y por tanto, es continua en todo el intervalo

Derivabilidad

En es derivable y su derivada es

En es derivable y su derivada es $\frac{40 \cdot t -(40t-320) \cdot 1}{t^2}=\frac{320}{t^2}$

Veamos la derivabilidad en

$B^{\prime}(40^-)=-0.08 \cdot 40 + 2.4 = -0,8$

$B^{\prime}(40^+)=\frac{320}{40^2}=0.2$

Como no coinciden las derivadas laterales, no es derivable en

Por tanto, B(t) es derivable en $(0,50) - \{40\}$ y su derivada es:

$B(t)=\left\{ \begin{array}{lr} -0.08t + 2.4 & 0 \leq t < 40 \\ & \\ \frac{320}{t^2} & 40 < t < 50 \end{array} \right.$

Monotonía

$-0.08t + 2.4=0 \longrightarrow t=\frac{2.4}{0.08}=30$

$\frac{320}{t^2} =0 \longrightarrow$ Sin Solución

Los intervalos a considerar son

Tomamos un punto de cada intervalo y analizamos el signo de la derivada

$1 \in (0,30) \longrightarrow -0.08 \cdot 1 + 2.4 >0 \longrightarrow$ CRECE

$35 \in (30,40) \longrightarrow -0.08 \cdot 35 + 2.4 <0 \longrightarrow$ DECRECE

$45 \in (40,50) \longrightarrow \frac{320}{45^2} >0 \longrightarrow$ CRECE

La monotonía queda por tanto así:


$\nearrow$	$\searrow$	$\nearrow$

Tenemos un máximo local en (el vértice de la parábola) y otro máximo local en (el punto más alto del segundo trozo)

$B(30)=-0.04 \cdot 40^2+2.4 \cdot 30 = 36$

$B(50)=\frac{40 \cdot 50-320}{50} = 33.6$

Por tanto, los máximos beneficios son 36000 euros, que se obtienen a los 30 años

El beneficio crece hasta los 30 años.
A partir de los 30 años decrece hasta los 40 años, que vuelve a crecer hasta los 50 años