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Selectividad Andalucía 2018 Septiembre A2

El consumo de cereales en una ciudad, en miles de toneladas, viene dado por la función c(t)=t^3-15t^2+63t+10, para 0 \leq t \leq 12, donde t representa el tiempo.

- a) ¿En qué instante se alcanza el máximo consumo de cereales y cuántas toneladas se consumen en ese momento?
- b) ¿En qué intervalo de tiempo decrece el consumo de cereales?
- c) Represente gráficamente la función.

SOLUCIÓN

- b) ¿En qué intervalo de tiempo decrece el consumo de cereales?

Estudiamos la monotonía (crecimiento y decrecimiento)

c(t)=t^3-15t^2+63t+10

c^{\prime}(t)=3t^2-30t+63

c^{\prime}(t)=0 \longrightarrow 3t^2-30t+63=0

Resolvemos la ecuación de segundo grado

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{30+12}{6}=7\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-30)\pm \sqrt{(-30)^2-4 \cdot3\cdot63}}{2 \cdot3}=
 \frac{30\pm \sqrt{144}}{6}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{30-12}{6}=3\end{array}


Las soluciones nos dividen la recta en tres intervalos

Comprobamos en cada intervalo si la función crece o decrece (tomando un punto de cada intervalo y verificando el signo de la derivada)

1 \in (-\infty,3) \longrightarrow c^{\prime}(1)= 3 \cdot 1^2 - 30 \cdot 1+63=36 >0 \nearrow CRECE

4 \in (3,7) \longrightarrow c^{\prime}(4)= 3 \cdot 4^2 - 30 \cdot 4+63=-9 <0 \searrow DECRECE

8 \in (7, +\infty) \longrightarrow c^{\prime}(8)= 3 \cdot 8^2 - 30 \cdot 8+63=15 >0 \nearrow CRECE

Por tanto entre t=3 y t=7 decrece el consumo de cereales

- a) ¿En qué instante se alcanza el máximo consumo de cereales y cuántas toneladas se consumen en ese momento?

Dado que es una función continua (por ser polinómica), el estudio de la monotonía del apartado anterior nos dice que tiene un máximo en t=3
Además debemos comprobar también los puntos de los extremos del intervalo: 0 y 12

- c(0)= 10
- c(3)= 3^3-15 \cdot 3^2 + 63 \cdot 3 + 10 = 91
- c(12)= 12^3-15 \cdot 12^2 + 63 \cdot 12 + 10 = 334

Luego para t=12 se obtiene el máximo consumo de cerales: 334000 toneladas

Representación gráfica

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