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Selectividad Andalucía 2001-6-B3

- a) Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m
\left.
\begin{array}{ccc}
2x+ my  & = & 0 \\
x + mz & = & m \\
x + y+ 3z & = & 1 
\end{array}
\right\}

- b) Resuelve el sistema anterior para m=6

SOLUCIÓN

\left.
\begin{array}{ccc}
2x+ my  & = & 0 \\
x + mz & = & m \\
x + y+ 3z & = & 1 
\end{array}
\right\}
Expresamos la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada

A|A^*=\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & m  & 0 & 0 \\
1 & 0   & m & m \\
1 & 1 & 3 &  1 
\end{array}
\right)

Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes usando la Regla de Sarrus

|A|=\left|
\begin{array}{ccc}
2 & m  & 0  \\
1 & 0   & m  \\
1 & 1 & 3  
\end{array}
\right| = m^2-5m

|A| = 0 \Leftrightarrow m^2-5m=0 \Leftrightarrow \textcolor{blue}{m=0} \:;\: \textcolor{blue}{m=5}

Tenemos que distinguir y analizar 3 casos distintos:

- m \neq 0 y m \neq 5
- m = 0
- m = 5

Si m \neq 0 y m \neq 5  \longrightarrow |A|\neq 0 \longrightarrow rg(A)=3

El rango de la matriz ampliada (A*) tiene que ser mayor o igual que 3 (pues contiene a la matriz A), pero como tiene 3 filas no puede ser mayor que 3. Por tanto rg(A^*)=3

Como el número de incógnitas también es 3, según el Teorema de Rouché es un Sistema Compatible Determinado (solución única)

Si m = 0 \longrightarrow sabemos que  |A|=0 \longrightarrow rg(A)<3

Expresamos las matrices (sustituyendo m por 0) y calculamos sus rangos
A|A^*=\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & 0  & 0 & 0 \\
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0}   & 0 & 0 \\
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 3 &  1 
\end{array}
\right) \qquad
\left|
\begin{array}{cc}
1 & 0    \\
1 & 1   
\end{array}
\right| = 1 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2

\left|
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
1 & 0   & 0 \\
1 & 1  & 1 
\end{array}
\right| =  0 \longrightarrow rg(A*)=2

rg(A) = rg(A*) < n^\circ \: incog \xrightarrow[Rouche]{Teorema} S.C.I. (infinitas soluciones)

Si m = 5 \longrightarrow sabemos que  |A|=0 \longrightarrow rg(A)<3

Expresamos las matrices (sustituyendo m por 5) y calculamos sus rangos
A|A^*=\left(
\begin{array}{ccc|c}
\textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{5}   & 0 & 0 \\
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & 5 &  5 \\
1 & 1 & 3 & 1
\end{array}
\right) \qquad
\left|
\begin{array}{cc}
2 & 5    \\
1 & 0   
\end{array}
\right| = -5 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2

\left|
\begin{array}{ccc}
2 & 5 & 0 \\
1 & 0   & 5 \\
1 & 1  & 1 
\end{array}
\right| \neq  0 \longrightarrow rg(A*)=3

rg(A) \neq  rg(A*)  \xrightarrow[Rouche]{Teorema} S.I. (sin solución)

Resumen de la discusión del sistema:

- m \neq 0 y m \neq 5  \longrightarrow S.C.D.
- m = 0   \longrightarrow S.C.I.
- m = 5   \longrightarrow S.I.

El apartado b) nos pide resolver el sistema para m=6

Como m=6 estamos en el caso de S.C.D.
Se puede resolver por sustitución, Gauss, Cramer, etc.
Lo resolvemos por la Regla de Cramer

|A| = m^2-5m = 6^2 - 5 \cdot 6 = 6

x= \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
0 & 6  & 0  \\
6 & 0   & 6  \\
1 & 1 & 3  
\end{array}
\right| }{6}=\frac{-72}{6}=-12

y= \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
2 & 0  & 0  \\
1 & 6   & 6  \\
1 & 1 & 3  
\end{array}
\right| }{6}=\frac{24}{6}=4

y= \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
2 & 6  & 0  \\
1 & 0   & 6  \\
1 & 1 & 1  
\end{array}
\right| }{6}=\frac{18}{6}=3

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