Selectividad Andalucía 2001-6-B3

, por dani

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\left. \begin{array}{ccc} 2x+ my & = & 0 \\ x + mz & = & m \\ x + y+ 3z & = & 1 \end{array} \right\}
Expresamos la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada

A|A^*=\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & m & 0 & 0 \\ 1 & 0 & m & m \\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{array} \right)

Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes usando la Regla de Sarrus

|A|=\left| \begin{array}{ccc} 2 & m & 0 \\ 1 & 0 & m \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right| = m^2-5m

|A| = 0 \Leftrightarrow m^2-5m=0 \Leftrightarrow \textcolor{blue}{m=0} \:;\: \textcolor{blue}{m=5}

Tenemos que distinguir y analizar 3 casos distintos:

– m \neq 0 y m \neq 5
– m = 0
– m = 5

Si m \neq 0 y m \neq 5 \longrightarrow |A|\neq 0 \longrightarrow rg(A)=3

El rango de la matriz ampliada (A*) tiene que ser mayor o igual que 3 (pues contiene a la matriz A), pero como tiene 3 filas no puede ser mayor que 3. Por tanto rg(A^*)=3

Como el número de incógnitas también es 3, según el Teorema de Rouché es un Sistema Compatible Determinado (solución única)

Si m = 0 \longrightarrow sabemos que |A|=0 \longrightarrow rg(A)<3

Expresamos las matrices (sustituyendo m por 0) y calculamos sus rangos
A|A^*=\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & 0 & 0 \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 3 & 1 \end{array} \right) \qquad \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right| = 1 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2

\left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| = 0 \longrightarrow rg(A*)=2

rg(A) = rg(A*) < n^\circ \: incog \xrightarrow[Rouche]{Teorema} S.C.I. (infinitas soluciones)

Si m = 5 \longrightarrow sabemos que |A|=0 \longrightarrow rg(A)<3

Expresamos las matrices (sustituyendo m por 5) y calculamos sus rangos
A|A^*=\left( \begin{array}{ccc|c} \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{5} & 0 & 0 \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & 5 & 5 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{array} \right) \qquad \left| \begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{array} \right| = -5 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2

\left| \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| \neq 0 \longrightarrow rg(A*)=3

rg(A) \neq rg(A*) \xrightarrow[Rouche]{Teorema} S.I. (sin solución)

Resumen de la discusión del sistema:

– m \neq 0 y m \neq 5 \longrightarrow S.C.D.
– m = 0 \longrightarrow S.C.I.
– m = 5 \longrightarrow S.I.

El apartado b) nos pide resolver el sistema para m=6

Como m=6 estamos en el caso de S.C.D.
Se puede resolver por sustitución, Gauss, Cramer, etc.
Lo resolvemos por la Regla de Cramer

|A| = m^2-5m = 6^2 - 5 \cdot 6 = 6

x= \frac{\left| \begin{array}{ccc} 0 & 6 & 0 \\ 6 & 0 & 6 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right| }{6}=\frac{-72}{6}=-12

y= \frac{\left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 6 & 6 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right| }{6}=\frac{24}{6}=4

y= \frac{\left| \begin{array}{ccc} 2 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| }{6}=\frac{18}{6}=3

– a) Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m
\left. \begin{array}{ccc} 2x+ my & = & 0 \\ x + mz & = & m \\ x + y+ 3z & = & 1 \end{array} \right\}

– b) Resuelve el sistema anterior para m=6