Selectividad Andalucía 2001-6-B3

– a) Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro
$\left. \begin{array}{ccc} 2x+ my & = & 0 \\ x + mz & = & m \\ x + y+ 3z & = & 1 \end{array} \right\}$

– b) Resuelve el sistema anterior para

SOLUCIÓN

$\left. \begin{array}{ccc} 2x+ my & = & 0 \\ x + mz & = & m \\ x + y+ 3z & = & 1 \end{array} \right\}$
Expresamos la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada

$A|A^*=\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & m & 0 & 0 \\ 1 & 0 & m & m \\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{array} \right)$

Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes usando la Regla de Sarrus

$|A|=\left| \begin{array}{ccc} 2 & m & 0 \\ 1 & 0 & m \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right| = m^2-5m$

$|A| = 0 \Leftrightarrow m^2-5m=0 \Leftrightarrow \textcolor{blue}{m=0} \:;\: \textcolor{blue}{m=5}$

Tenemos que distinguir y analizar 3 casos distintos:

– $m \neq 0$ y $m \neq 5$
–
–

Si $m \neq 0$ y $m \neq 5 \longrightarrow |A|\neq 0 \longrightarrow rg(A)=3$

El rango de la matriz ampliada (A*) tiene que ser mayor o igual que 3 (pues contiene a la matriz A), pero como tiene 3 filas no puede ser mayor que 3. Por tanto

Como el número de incógnitas también es 3, según el Teorema de Rouché es un Sistema Compatible Determinado (solución única)

Si $m = 0 \longrightarrow$ sabemos que $|A|=0 \longrightarrow rg(A)<3$

Expresamos las matrices (sustituyendo m por 0) y calculamos sus rangos
$A|A^*=\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & 0 & 0 \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 3 & 1 \end{array} \right) \qquad \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right| = 1 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2$

$\left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| = 0 \longrightarrow rg(A*)=2$

$rg(A) = rg(A*) < n^\circ \: incog \xrightarrow[Rouche]{Teorema} S.C.I.$ (infinitas soluciones)

Si $m = 5 \longrightarrow$ sabemos que $|A|=0 \longrightarrow rg(A)<3$

Expresamos las matrices (sustituyendo m por 5) y calculamos sus rangos
$A|A^*=\left( \begin{array}{ccc|c} \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{5} & 0 & 0 \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & 5 & 5 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{array} \right) \qquad \left| \begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{array} \right| = -5 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2$