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En respuesta a:

Calcular extremos relativos de una función

Calcule máximos y mínimos de la función f(x)=2x^3-15x^2+36x+48

SOLUCIÓN

Según la teoría necesitamos las derivadas primera y segunda:
f\textsc{\char13} (x)=6x^2-30x+36
f\textsc{\char13} \textsc{\char13} (x)=12x-30

Resolvemos la ecuación f\textsc{\char13} (x)=0
6x^2-30x+36=0 Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones x=2 y x=3.


\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{30+6}{12}=3\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-30)\pm \sqrt{(-30)^2-4 \cdot6\cdot36}}{2 \cdot6}=
 \frac{30\pm \sqrt{36}}{12}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{30-6}{12}=2\end{array}


Analizamos el signo de la 2ª derivada en esas soluciones, para comprobar si son máximos (<0) , mínimos (>0) o no podemos afirmar nada (=0).

- f\textsc{\char13} \textsc{\char13} (2) = 12 \cdot 2 - 30= -6 (<0) \longrightarrow MAX en x=2
- f\textsc{\char13} \textsc{\char13} (3) = 12 \cdot 3 - 30= 6 (>0) \longrightarrow MIN en x=3

Para hallar la segunda coordenada de los extremos debemos usar la función original f(x)

- f(2) = 2 \cdot 2^3-15\cdot 2^2+36 \cdot 2+48 = 76
Por tanto MÁXIMO (2,76)
- f(3) = 2 \cdot 3^3-15\cdot 3^2+36 \cdot 3+48 = 75
Por tanto MÍNIMO (3,75)

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