Calcular extremos relativos de una función

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Calcule máximos y mínimos de la función

SOLUCIÓN

Según la teoría necesitamos las derivadas primera y segunda:
$f\textsc{\char13} (x)=6x^2-30x+36$
$f\textsc{\char13} \textsc{\char13} (x)=12x-30$

Resolvemos la ecuación $f\textsc{\char13} (x)=0$
Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones y .

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{30+6}{12}=3\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-30)\pm \sqrt{(-30)^2-4 \cdot6\cdot36}}{2 \cdot6}= \frac{30\pm \sqrt{36}}{12}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{30-6}{12}=2\end{array}$

Analizamos el signo de la 2ª derivada en esas soluciones, para comprobar si son máximos (<0) , mínimos (>0) o no podemos afirmar nada (=0).

– $f\textsc{\char13} \textsc{\char13} (2) = 12 \cdot 2 - 30= -6 (<0) \longrightarrow$ MAX en
– $f\textsc{\char13} \textsc{\char13} (3) = 12 \cdot 3 - 30= 6 (>0) \longrightarrow$ MIN en