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Selectividad Andalucía 2012-3-B2

Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses:

 
P(t)= \left\{ \begin{array}{lcc}
              t^2 &   si  & 0 \leq t \leq 5 \\
              \\ \frac{100t-250}{t+5} &  si &  t >5
              \end{array}
    \right.


 a) Estudie la continuidad de la función P.
 b) Estudie la derivabilidad de P en t =5.
 c) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.
 d) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?

SOLUCIÓN

Continuidad

 En (0,5) es continua por ser polinómica
 En (5,+\infty) se trata de una función racional que sólo es discontinua en t=-5 (punto que anula el denominador), por tanto en (5,+\infty) es continua
 Veamos la continuidad en t=5
P(5) =5^2 = 25
\lim_{t \rightarrow 5^-} P(t) = \lim_{t \rightarrow 5} t^2 = 5^2=25
\lim_{t \rightarrow 5^+} P(t) = \lim_{t \rightarrow 5} \frac{100t-250}{t+5} = \frac{250}{10}=25
Coinciden ambos límites, por tanto es continua en t=5.

Derivabilidad en t=5

La función derivada sería:

 
P\textsc{\char13}(t)= \left\{ \begin{array}{lcc}
              2t &   si  & 0 < t < 5 \\
              \\ \frac{750}{(t+5)^2} &  si &  t >5
              \end{array}
    \right.


Calculamos derivadas laterales en t=5

 P\textsc{\char13}(5^-) = 2 \cdot 5 = 10
 P\textsc{\char13}(5^+) = \frac{750}{(5+5)^2}=7.5
No coinciden las derivadas laterales, por tanto no es derivable en t=5

Monotonía

Dado que se trata de funciones conocidas (parábola e hipérbola), podríamos dibujarla y a vista de la gráfica determinar la monotonía. No obstante, vamos a estudiar la monotonía mediante derivadas, como si se tratase de funciones desconocidas:

 En el primer trozo P\textsc{\char13}(t)=0 \Longrightarrow 2t=0 \Longrightarrow t=0
El intervalo a estudiar es (0,5). Si tomamos un punto, por ejemplo t=2, vemos que P\textsc{\char13}(2) = 4 >0 , por tanto creciente en (0,5)
 En el segundo trozo, si hacemos P\textsc{\char13}(t)=0 \Longrightarrow \frac{750}{(t+5)^2}=0 \Longrightarrow 750=0, es decir, ninguna solución (lo cual quiere decir que será siempre creciente o siempre decreciente).
Si tomamos un punto, por ejemplo t=6, vemos que P\textsc{\char13}(6) = \frac{750}{11^2} >0 , por tanto creciente en (5,+\infty)
Concluimos que la función siempre es creciente.

El porcentaje de células sigue creciendo siempre, sin llegar nunca al 100\% pues hay una asíntota en y=100.

d) Veamos cuándo el porcentaje es de 50

Debemos mirarlo en el segundo trozo, pues el primero llega como máximo a 5^2=25

\frac{100t-250}{t+5}=50 \Rightarrow 100t-250=50(t+5) \Rightarrow t=10

A los 10 meses el porcentaje de células será del 50\%