Selectividad Andalucía 2012-3-B2

Sea el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo , medido en meses:

$P(t)= \left\{ \begin{array}{lcc} t^2 & si & 0 \leq t \leq 5 \\ \\ \frac{100t-250}{t+5} & si & t >5 \end{array} \right.$

a) Estudie la continuidad de la función P.
b) Estudie la derivabilidad de P en .
c) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.
d) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?

SOLUCIÓN

Continuidad

En es continua por ser polinómica
En $(5,+\infty)$ se trata de una función racional que sólo es discontinua en (punto que anula el denominador), por tanto en $(5,+\infty)$ es continua
Veamos la continuidad en

$\lim_{t \rightarrow 5^-} P(t) = \lim_{t \rightarrow 5} t^2 = 5^2=25$
$\lim_{t \rightarrow 5^+} P(t) = \lim_{t \rightarrow 5} \frac{100t-250}{t+5} = \frac{250}{10}=25$
Coinciden ambos límites, por tanto es continua en .

Derivabilidad en

La función derivada sería:

$P'(t)= \left\{ \begin{array}{lcc} 2t & si & 0 < t < 5 \\ \\ \frac{750}{(t+5)^2} & si & t >5 \end{array} \right.$

Calculamos derivadas laterales en

$P'(5^-) = 2 \cdot 5 = 10$
$P'(5^+) = \frac{750}{(5+5)^2}=7.5$
No coinciden las derivadas laterales, por tanto no es derivable en

Monotonía

Dado que se trata de funciones conocidas (parábola e hipérbola), podríamos dibujarla y a vista de la gráfica determinar la monotonía. No obstante, vamos a estudiar la monotonía mediante derivadas, como si se tratase de funciones desconocidas:

En el primer trozo $P'(t)=0 \Longrightarrow 2t=0 \Longrightarrow t=0$
El intervalo a estudiar es . Si tomamos un punto, por ejemplo , vemos que , por tanto creciente en
En el segundo trozo, si hacemos $P'(t)=0 \Longrightarrow \frac{750}{(t+5)^2}=0 \Longrightarrow 750=0$ , es decir, ninguna solución (lo cual quiere decir que será siempre creciente o siempre decreciente).
Si tomamos un punto, por ejemplo , vemos que $P'(6) = \frac{750}{11^2} >0$ , por tanto creciente en $(5,+\infty)$
Concluimos que la función siempre es creciente.

El porcentaje de células sigue creciendo siempre, sin llegar nunca al $100\%$ pues hay una asíntota en .