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Selectividad Andalucía 2013 - J - B2

Sea g: \: R \rightarrow R definida por g(x)=ln(x^2+1). Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

SOLUCIÓN

Para integrar la función logaritmo natural (o neperiano) hay que usar el método de integración por partes, asignado u al ln porque es muy fácil de derivar.
\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du

u = ln(x^2+1) \rightarrow du = \frac{2x}{x^2+1} \cdot dx
dv = dx \rightarrow v = x

\int ln(x^2+1) dx = ln(x^2+1) \cdot x - \int x \cdot \frac{2x}{x^2+1}dx =
=x \cdot ln(x^2+1) - 2 \cdot \int \frac{x^2}{x^2+1}dx

Para integrar un cociente de polinomios podemos hacer la división (pues el grado del numerador es mayor o igual) y quedaría de la forma:
\frac{x^2}{x^2+1} = 1 - \frac{1}{x^2+1}

Por tanto, la integral indefinida quedaría:
\int ln(x^2+1) dx = x \cdot ln(x^2+1) - 2 \cdot \left[ \int \left(1 - \frac{1}{x^2+1}\right)dx \right]

\int ln(x^2+1) dx = x \cdot ln(x^2+1) - 2 \cdot ( x - arc \: tg \: x) + K

Ahora tan sólo nos queda calcular el valor de la constante de integración k, para que la función pase por el punto (0,0).

x \cdot ln(x^2+1) - 2 \cdot ( x - arc \: tg \: x) + K = 0
De donde k=0
Por tanto la primitiva que nos piden es:

\fbox{x \cdot ln(x^2+1) - 2 \cdot ( x - arc \: tg \: x)}

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