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Selectividad Andalucía 2019 Junio B3

Dadas las matrices  A = \left(
\begin{array}{ccc}
     2-m & 1 & 2m-1
  \\ 1 & m & 1
  \\  m & 1 & 1
\end{array}
\right) , X = \left(
\begin{array}{c}
     x
  \\  y
  \\ z
\end{array}
\right) ,  B = \left(
\begin{array}{c}
     2m^2-1
  \\  m
  \\ 1
\end{array}
\right) , considera el sistema de ecuaciones lineales dado por X^tA=B^t, donde X^t , B^t denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de m

SOLUCIÓN

Expresamos matricialmente el sistema que se nos propone

X^tA=B^t


\left(
\begin{array}{ccc}
     x & y & z
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{ccc}
     2-m & 1 & 2m-1
  \\ 1 & m & 1
  \\ m & 1 & 1
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
     2m^2-1 & m & 1
\end{array}
\right)

Si lo pasamos a ecuaciones tendremos

\left.
\begin{array}{ccc}
     (2-m)x+y+mz & = & 2m^2-1
  \\ x+my+z & = & m
  \\ (2m-1)x+y+z & = & 1
\end{array}
\right\}

Con lo cual la matriz de los coeficientes y la ampliada serán:

A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc}
     2-m & 1 & m
  \\ 1 & m & 1
  \\ 2m-1 & 1 & 1
\end{array}
\right. \left| \begin{array}{c}
2m^2-1 \\ m \\ 1 \end{array} \right)

Calculamos det(A) por Sarrus
|A|=(2-m)m+m+2m-1-m^2(2m-1)-(2-m)-1
|A|= -2m^3+6m-4

|A|=0 \Longleftrightarrow -2m^3+6m-4=0
Podemos resolver la ecuación por Ruffini y obtenemos como soluciones:
m=1 y m=-2
Por tanto |A|=0 \Longleftrightarrow m=1 ó m=-2

\rightarrow Si m \neq 1 y m \neq -2 \Rightarrow |A| \neq 0 \Rightarrow rg(A)=3
rg(A)=rg(A^*)=nº incógnitas =3 \RightarrowS.C.D.(Sistema Compatible Determinado)

\rightarrow Si m=1

A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 1 & 1
  \\ 1 & 1 & 1
  \\ 1 & 1 & 1
\end{array}
\right. \left| \begin{array}{c}
1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)

\left. \begin{array}{c}
rg(a)=1 \\ rg(A^*)=1 \\ n-inc=3 \end{array} \right\} \Longrightarrow S.C.I.

\rightarrow Si m=-2

A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc}
     4 & 1 & -2
  \\ 1 & -2 & 1
  \\ -5 & 1 & 1
\end{array}
\right. \left| \begin{array}{c}
7 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)

\left| \begin{array}{cc}
4 & 1 \\ 1 & -2 \end{array} \right|\neq 0 \Longrightarrow rg(A)=2

\left| \begin{array}{ccc}
4 & 1 & 7 \\ 1 & -2 & -2 \\ -5 & 1& 1 \end{array} \right|\neq 0 \Longrightarrow rg(A^*)=3

Como rg(A) < rg(A^*) \Longrightarrow S.I. (Sistema Incompatible)

El resultado final de la discusión del sistema es:

\rightarrow Si m \neq 1 y m \neq -2 \Rightarrow S.C.D.
\rightarrow Si m=1 \Rightarrow S.C.I.
\rightarrow Si m=-2 \Rightarrow S.I.

Para discutir el sistema hemos usado el Teorema de Rouché

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