Selectividad Andalucía 2019 Junio B3

Dadas las matrices $A = \left( \begin{array}{ccc} 2-m & 1 & 2m-1 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{array} \right)$ , $X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ , $B = \left( \begin{array}{c} 2m^2-1 \\ m \\ 1 \end{array} \right)$ , considera el sistema de ecuaciones lineales dado por , donde , denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de m

SOLUCIÓN

Expresamos matricialmente el sistema que se nos propone

$\left( \begin{array}{ccc} x & y & z \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 2-m & 1 & 2m-1 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2m^2-1 & m & 1 \end{array} \right)$

Si lo pasamos a ecuaciones tendremos

$\left. \begin{array}{ccc} (2-m)x+y+mz & = & 2m^2-1 \\ x+my+z & = & m \\ (2m-1)x+y+z & = & 1 \end{array} \right\}$

Con lo cual la matriz de los coeficientes y la ampliada serán:

$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 2-m & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ 2m-1 & 1 & 1 \end{array} \right. \left| \begin{array}{c} 2m^2-1 \\ m \\ 1 \end{array} \right)$

Calculamos det(A) por Sarrus

$|A|=0 \Longleftrightarrow -2m^3+6m-4=0$
Podemos resolver la ecuación por Ruffini y obtenemos como soluciones:
y
Por tanto $|A|=0 \Longleftrightarrow m=1$ ó

$\rightarrow$ Si $m \neq 1$ y $m \neq -2 \Rightarrow |A| \neq 0 \Rightarrow rg(A)=3$
nº incógnitas $=3 \Rightarrow$ S.C.D.(Sistema Compatible Determinado)

$\rightarrow$ Si

$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right. \left| \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$

$\left. \begin{array}{c} rg(a)=1 \\ rg(A^*)=1 \\ n-inc=3 \end{array} \right\} \Longrightarrow S.C.I.$

$\rightarrow$ Si

$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -5 & 1 & 1 \end{array} \right. \left| \begin{array}{c} 7 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$