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Ecuaciones y posiciones relativas de rectas 4198

Considera la recta r que pasa por el punto y lleva la dirección del vector $\vec{v}=(-2,-2,0)$
Se pide:

a) Halla su ecuación paramétrica.

b) Halla su ecuación continua.

c) Halla su ecuación implícita.

d) Estudia la posición relativa de la recta r respecto a la s:
$\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{2}=z-1$

SOLUCIÓN

Ecuaciones paramétricas

$\left\{ \begin{array}{lll} x=1 -2 \lambda \\ y=-2-2 \lambda \\ z=5 \end{array} \right.$

Ecuación continua

$\frac{x-1}{-2} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-5}{0}$

En este caso se dice que la recta no tiene ecuación continua (no se puede dividir por cero)

Ecuaciones implícitas
$\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{-2}$
$\frac{x-1}{-2} = \frac{z-5}{0}$

$\left\{ \begin{array}{lll} (-2)(x-1)=(-2)(y+2) \\ (x-1) \cdot 0 = (-2)(z-5) \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{lll} -2x+2=-2y-4 \\ 0 = -2z+10 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{lll} -2x+2y+6 = 0 \\ -2z+10 = 0 \end{array} \right.$

Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio Ver Teoría necesitamos un vector director de cada recta y un tercer vector formado por un punto de cada recta

$\vec{v_r}=(-2,-2,0)$
$\vec{v_s}=(-2,2,1)$
$P_r \rightarrow A(1,-2,5)$
$P_s \rightarrow B(3,3,1)$
$\vec{AB}=(2,5,-4)$

Analizamos el rango de la matriz formada por los tres vectores

$M = \left( \begin{array}{ccc} -2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & -4 \end{array} \right)$

$|M| =38 \neq 0 \rightarrow rg(A)=3 \rightarrow$ las rectas se cruzan