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Matrices. Rango e inversa

Dadas las siguientes matrices
$A=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 6 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 6 & -3 & 0 \end{array} \right)$ y $B=\left( \begin{array}{ccc} -3 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{array} \right)$

– a) Calcula el rango de A. ¿Existe la inversa de A? ¿Por qué?
– b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz B.

SOLUCIÓN

– a) Para calcular el rango de una matriz podemos hacerlo por determinantes o por Gauss.
Lo calculamos por determinantes.
$|A|=\left| \begin{array}{ccc} -2 & 6 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 6 & -3 & 0 \end{array} \right| = 0$
$\left| \begin{array}{cc} -2 & 6 \\ 0 & 1 \end{array} \right| = -2 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2$

La matriz A no tiene inversa porque

– b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz B.
$B=\left( \begin{array}{ccc} -3 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{array} \right)$
$|B|=\left| \begin{array}{ccc} -3 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{array} \right| = -3 \neq 0 \longrightarrow$ tiene inversa.

Calculamos la inversa usando la formula:

$B^{-1}=\frac{1}{|B|} \cdot \left( Adj(B)\right)^t$

y aplicando este procedimiento

$B^{-1}=\frac{1}{-3} \cdot \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 3 & 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \frac{-2}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{-2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{1}{3} \\ -1 & -1 & -2 \end{array} \right)$