Matrices. Rango e inversa

Dadas las siguientes matrices
A=\left(
\begin{array}{ccc}
     -2 & 6 & 5
  \\ 0 & 1 & 1
  \\ 6 & -3 & 0
\end{array}
\right) y B=\left(
\begin{array}{ccc}
     -3 & 0 & 1
  \\ -1 & -2 & 0
  \\ 2 & 1 & -1
\end{array}
\right)

- a) Calcula el rango de A. ¿Existe la inversa de A? ¿Por qué?
- b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz B.

SOLUCIÓN

- a) Para calcular el rango de una matriz podemos hacerlo por determinantes o por Gauss.
Lo calculamos por determinantes.
|A|=\left|
\begin{array}{ccc}
     -2 & 6 & 5
  \\ 0 & 1 & 1
  \\ 6 & -3 & 0
\end{array}
\right| = 0
\left|
\begin{array}{cc}
     -2 & 6 
  \\ 0 & 1 
\end{array}
\right| = -2 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2

La matriz A no tiene inversa porque |A|=0

- b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz B.
B=\left(
\begin{array}{ccc}
     -3 & 0 & 1
  \\ -1 & -2 & 0
  \\ 2 & 1 & -1
\end{array}
\right)
|B|=\left|
\begin{array}{ccc}
     -3 & 0 & 1
  \\ -1 & -2 & 0
  \\ 2 & 1 & -1
\end{array}
\right| = -3 \neq 0 \longrightarrow tiene inversa.

Calculamos la inversa usando la formula:

B^{-1}=\frac{1}{|B|} \cdot \left( Adj(B)\right)^t


y aplicando este procedimiento

B^{-1}=\frac{1}{-3} \cdot 
\left(
\begin{array}{ccc}
     2 & 1 & 2
  \\ 1 & -1 & 1
  \\ 3 & 3 & 6
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
     \frac{-2}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{-2}{3}
  \\ \frac{1}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{1}{3}
  \\ -1 & -1 & -2
\end{array}
\right)