Publicar un mensaje

En respuesta a:

Sistema en su expresión matricial

Dado el siguiente sistema:
 \left\{
\begin{array}{l}
    -z+2x=-1
\\ -x+2y-2=-3
\\ y+3x-5z=-12
\end{array}
\right.

- a) Escribe la matriz de los coeficientes, la matriz ampliada, la de las incógnitas y la de los términos independientes. Expresa el sistema en forma matricial
- b) Resuelve el sistema por el método que desees (Cramer o Gauss). A la vista de las soluciones, ¿de qué tipo es el sistema?

SOLUCIÓN

En primer lugar debemos expresar el sistema de forma ordenada
 \left\{
\begin{array}{ccccc}
    2x & & -z &=&-1
\\ -x & +2y & &=&-1
\\ 3x & +y & -5z&=&-12
\end{array}
\right.

Matriz de los coeficientes:
 A = \left(
\begin{array}{ccc}
    2 & 0 & -1 
\\ -1 & 2 & 0
\\ 3 & 1 & -5
\end{array}
\right )

Matriz ampliada:
 A^* =\left(
\begin{array}{ccc}
    2 & 0 & -1 
\\ -1 & 2 & 0
\\ 3 & 1 & -5
\end{array}
\right |
\left.
\begin{array}{c}
    -1 
\\ -1 
\\ -12 
\end{array}
\right )

Matriz de las incógnitas:
X = \left (
\begin{array}{c}
    x 
\\ y 
\\ z 
\end{array}
\right )

Matriz de los términos independientes:
B=\left (
\begin{array}{c}
    -1 
\\ -1 
\\ -12 
\end{array}
\right )

Sistema expresado en forma matricial

A \cdot X = B



\left(
\begin{array}{ccc}
    2 & 0 & -1 
\\ -1 & 2 & 0
\\ 3 & 1 & -5
\end{array}
\right ) \cdot 
 \left (
\begin{array}{c}
    x 
\\ y 
\\ z 
\end{array}
\right ) =
\left (
\begin{array}{c}
    -1 
\\ -1 
\\ -12 
\end{array}
\right )

- b) Discutimos el sistema aplicando el Teorema de Rouché
 |A| = \left|
\begin{array}{ccc}
    2 & 0 & -1 
\\ -1 & 2 & 0
\\ 3 & 1 & -5
\end{array}
\right | =  -13

 |A| =-13 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=3
Como rg(A^*)=3 y el número de incógnitas es también 3, según el teorema de Rouché se trata de un S.C.D. (Sistema Compatible Determinado).
Lo resolvemos por la regla de Cramer
x = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
 -1  & 0 & -1 \\
 -1 & 2 & 0 \\
 -12 & 1 & -5 
\end{array}
\right | }{|A|} = \frac{-13}{-13} = 1
y = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
 2  & -1 & -1 \\
 -1 & -1 & 0 \\
 3 & -12 & -5 
\end{array}
\right | }{|A|} = \frac{0}{-13} = 0
z = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
 2  & 0 & -1 \\
 -1 & 2 & -1 \\
 3 & 1 & -12 
\end{array}
\right | }{|A|} = \frac{-39}{-13} = 3

moderación a priori

Aviso, su mensaje sólo se mostrará tras haber sido revisado y aprobado.

¿Quién es usted?

Para mostrar su avatar con su mensaje, guárdelo en gravatar.com (gratuit et indolore) y no olvide indicar su dirección de correo electrónico aquí.

Añada aquí su comentario

Este formulario acepta los atajos de SPIP, [->url] {{negrita}} {cursiva} <quote> <code> y el código HTML. Para crear párrafos, deje simplemente una línea vacía entre ellos.