Sistema en su expresión matricial

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Dado el siguiente sistema:
\left\{ \begin{array}{l} -z+2x=-1 \\ -x+2y-2=-3 \\ y+3x-5z=-12 \end{array} \right.

– a) Escribe la matriz de los coeficientes, la matriz ampliada, la de las incógnitas y la de los términos independientes. Expresa el sistema en forma matricial
– b) Resuelve el sistema por el método que desees (Cramer o Gauss). A la vista de las soluciones, ¿de qué tipo es el sistema?

SOLUCIÓN

En primer lugar debemos expresar el sistema de forma ordenada
\left\{ \begin{array}{ccccc} 2x & & -z &=&-1 \\ -x & +2y & &=&-1 \\ 3x & +y & -5z&=&-12 \end{array} \right.

Matriz de los coeficientes:
A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -5 \end{array} \right )

Matriz ampliada:
A^* =\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -5 \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -12 \end{array} \right )

Matriz de las incógnitas:
X = \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right )

Matriz de los términos independientes:
B=\left ( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -12 \end{array} \right )

Sistema expresado en forma matricial

A \cdot X = B


\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -5 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -12 \end{array} \right )

– b) Discutimos el sistema aplicando el Teorema de Rouché
|A| = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -5 \end{array} \right | = -13

|A| =-13 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=3
Como rg(A^*)=3 y el número de incógnitas es también 3, según el teorema de Rouché se trata de un S.C.D. (Sistema Compatible Determinado).
Lo resolvemos por la regla de Cramer
x = \frac{\left| \begin{array}{ccc} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ -12 & 1 & -5 \end{array} \right | }{|A|} = \frac{-13}{-13} = 1
y = \frac{\left| \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 3 & -12 & -5 \end{array} \right | }{|A|} = \frac{0}{-13} = 0
z = \frac{\left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & -12 \end{array} \right | }{|A|} = \frac{-39}{-13} = 3