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Selectividad Andalucía 2018 Septiembre A3

Considera las siguientes matrices
A=\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ 0 & -1 & 0
  \\ 1 & 0 & 0
\end{array}
\right) \qquad 
B=\left(
\begin{array}{ccc}
     a & b & c
  \\ 0 & 1 & 0
  \\ -1 & 0 & 0
\end{array}
\right)

- a) Determina, si existen, los valores de a, b y c para los que las matrices A y B conmutan
- b) Calcula A^2, A^3, A^{2017} y A^{2018}
- c) Calcula, si existe, la matriz inversa de A

SOLUCIÓN

A \cdot B = B \cdot A


\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ 0 & -1 & 0
  \\ 1 & 0 & 0
\end{array}
\right) \cdot
\left(
\begin{array}{ccc}
     a & b & c
  \\ 0 & 1 & 0
  \\ -1 & 0 & 0
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
     a & b & c
  \\ 0 & 1 & 0
  \\ -1 & 0 & 0
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ 0 & -1 & 0
  \\ 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{ccc}
     -1 & 0 & 0
  \\ 0 & -1 & 0
  \\ a & b & c
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
     c & -b & a
  \\ 0 & -1 & 0
  \\ 0 & 0 & -1
\end{array}
\right)

Igualamos elemento a ekemento

-1=c
0=-b
0=a
a=0
b=0
c=-1

Por tanto los valores pedidos son:

\fbox{a=0} , \fbox{b=0} , \fbox{c=-1}

b) A^2 = A \cdot A = \left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ 0 & -1 & 0
  \\ 1 & 0 & 0
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
  \\ 0 & -1 & 0
  \\ 1 & 0 & 0
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 0 & 0
  \\ 0 & 1 & 0
  \\ 0 & 0 & 1
\end{array}
\right) = I

A^1 = A
A^2 = I
A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A
A^4 = A^3 \cdot A = A \cdot A = I

A^n = \left\{   
\begin{array}{cccc}
A  & si & n & impar 
\\ I  & si & n & par 
\end{array}
\right.

A^{2017} = A
A^{2018} = I

- c)
det(A) = 1 \neq 0 \longrightarrow \exists A^{-1}

Como A \cdot  A = I \longrightarrow A^{-1}=A

moderación a priori

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