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Volumen de Tinaco en función de altura

Un tinaco tiene forma de un cono invertido unido con un cilindro. En la figura se muestra una sección del tinaco con sus dimensiones. Expresa el volumen en función de la altura.
Realizar una tabla donde se exprese el factor numérico de crecimiento utilizando la estructura de una función

SOLUCIÓN

Podemos ver que los triángulos ADB y AEF son semejantes. Entonces

\frac{DB}{DA}=\frac{EF}{EA}

Ponemos la relación anterior expresando sus medidas

\frac{1}{2}=\frac{R}{h} \longrightarrow 2R=h \longrightarrow R=\frac{h}{2}

El volumen de un cono se calcula con la fórmula V=\frac{\pi \cdot R^2 \cdot h}{3}

Sustituimos R por su valor \frac{h}{2}

V=\frac{\pi \cdot \left( \frac{h}{2}\right)^2 \cdot h}{3}=\frac{\pi \cdot \frac{h^3}{4}}{3} = \frac{\pi h^3}{12}

Con ello tenemos expresado el volumen del cono en función de la altura (h)

El volumen del tinaco (para h \leq 2) se puede expresar como \frac{\pi h^3}{12}

Cuando h>2 entonces entra en juego también el cilindro y tendremos que expresar el volumen como:
Volumen del cono entero + Volumen del trozo de cilindro

Volumen del cono entero \frac{\pi \cdot 2^3}{12}=\frac{2 \pi}{3}

El volumen de un cilindro es V=\pi \cdot R^2 \cdot altura

El volumen de un trozo de cilindro en este caso es:
V = \pi \cdot 1^2 \cdot (h-2)

Observe que el Radio es 1 y que a la altura hay que restarle los 2m del cono

Finalmente podemos expresar el volumen mediante una función a trozos

V(h) = \left\{
\begin{array}{lcc}
\frac{\pi h^3}{12} & si & h \leq 2 \\
\\
\pi (h-2) & si & 2<h \leq 3
\end{array}
\right.

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