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Función Población de bacterias

Un agente antibacteriano agregado a una población de bacterias causa disminución en el tamaño de esta. Si la población t minutos después de agregado el agente es Q(t)=Q_0 \cdot 2^{\frac{-t}{3}}, donde Q_0 representa la cantidad inicial. Determine:

- a) La función de cambio de la población en el tiempo t si la población inicial es de 10^6 bacterias.

- b) ¿Después de qué periodo de tiempo la población ha disminuido 10^3 unidades?

SOLUCIÓN

Q(t)=Q_0 \cdot 2^{\frac{-t}{3}}

- a) Si Q_0 = 10^6 entonces tenemos:

Q(t)=10^6 \cdot 2^{\frac{-t}{3}}

- b) Si ha disminuido 10^3 unidades, habrá una población de 10^6-10^3 unidades, con lo que:

Q(t)=10^6 \cdot 2^{\frac{-t}{3}} = 10^6-10^3


Tenemos que calcular t resolviendo la ecuación:
10^6 \cdot 2^{\frac{-t}{3}} = 10^6-10^3

2^{\frac{-t}{3}} = \frac{10^6-10^3}{10^6}

Para no tener exponentes negativos, lo pasamos al denominador

\frac{1}{2^{\frac{t}{3}}} = \frac{10^6-10^3}{10^6} \longrightarrow 2^{\frac{t}{3}} = \frac{10^6}{10^6-10^3}

Ecuación exponencial que se resuelve tomando logaritmos

  Ln \left(2^{\frac{t}{3}} \right)=Ln \left( \frac{10^6}{10^6-10^3}\right)

 \frac{t}{3} \cdot Ln(2)=Ln \left( \frac{10^6}{10^6-10^3}\right)

t \cdot Ln(2)=3 \cdot Ln \left( \frac{10^6}{10^6-10^3}\right)

t = \frac{3}{Ln(2)} \cdot Ln \left( \frac{10^6}{10^6-10^3}\right)

Si usamos la calculadora obtendremos un valor aproximado de t \approx 0.004 minutos

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