Función Población de bacterias

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Un agente antibacteriano agregado a una población de bacterias causa disminución en el tamaño de esta. Si la población t minutos después de agregado el agente es $Q(t)=Q_0 \cdot 2^{\frac{-t}{3}}$ , donde representa la cantidad inicial. Determine:

a) La función de cambio de la población en el tiempo t si la población inicial es de bacterias.

b) ¿Después de qué periodo de tiempo la población ha disminuido unidades?

SOLUCIÓN

$Q(t)=Q_0 \cdot 2^{\frac{-t}{3}}$

a) Si entonces tenemos:

$Q(t)=10^6 \cdot 2^{\frac{-t}{3}}$

b) Si ha disminuido unidades, habrá una población de unidades, con lo que:

$Q(t)=10^6 \cdot 2^{\frac{-t}{3}} = 10^6-10^3$

Tenemos que calcular t resolviendo la ecuación:
$10^6 \cdot 2^{\frac{-t}{3}} = 10^6-10^3$

$2^{\frac{-t}{3}} = \frac{10^6-10^3}{10^6}$

Para no tener exponentes negativos, lo pasamos al denominador

$\frac{1}{2^{\frac{t}{3}}} = \frac{10^6-10^3}{10^6} \longrightarrow 2^{\frac{t}{3}} = \frac{10^6}{10^6-10^3}$

Ecuación exponencial que se resuelve tomando logaritmos

$Ln \left(2^{\frac{t}{3}} \right)=Ln \left( \frac{10^6}{10^6-10^3}\right)$

$\frac{t}{3} \cdot Ln(2)=Ln \left( \frac{10^6}{10^6-10^3}\right)$

$t \cdot Ln(2)=3 \cdot Ln \left( \frac{10^6}{10^6-10^3}\right)$

$t = \frac{3}{Ln(2)} \cdot Ln \left( \frac{10^6}{10^6-10^3}\right)$

Si usamos la calculadora obtendremos un valor aproximado de $t \approx 0.004$ minutos