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Razones trigonométricas de la suma y resta de ángulos

Razones trigonométricas de la suma de ángulos

Si conocemos las razones trigonométricas de dos ángulos, podemos obtener las razones del ángulo suma mediante las siguientes fórmulas:

\fbox{sen(\alpha + \beta) = sen(\alpha) \cdot cos(\beta) + cos(\alpha) \cdot sen(\beta)}

\fbox{cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) \cdot cos(\beta) - sen(\alpha) \cdot sen(\beta)}

\fbox{tg(\alpha + \beta) = \dfrac{tg(\alpha) + tg(\beta)}{1-tg(\alpha) \cdot tg(\beta)} }

Ejemplo

Dado que conocemos las razones trigonométricas de ángulos notables, podemos calcular (sin calculadora) las razones de 75º (como suma de 45º+30º).

sen(75) = sen(45 + 30) = sen(45) \cdot cos(30) + cos(45) \cdot sen(30)

sen(75) = \frac{\sqrt{2}}{2}  \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}  \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Razones trigonométricas de la resta de ángulos

Si conocemos las razones trigonométricas de dos ángulos, podemos obtener las razones del ángulo resta mediante las siguientes fórmulas:

\fbox{sen(\alpha - \beta) = sen(\alpha) \cdot cos(\beta) - cos(\alpha) \cdot sen(\beta)}

\fbox{cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha) \cdot cos(\beta) + sen(\alpha) \cdot sen(\beta)}

\fbox{tg(\alpha - \beta) = \dfrac{tg(\alpha) - tg(\beta)}{1+tg(\alpha) \cdot tg(\beta)} }

Ejemplo

Sabiendo que sen(25)=0.42, calcula sen(5)

Como sabemos las razones de 30º (es un ángulo notable), podemos expresarlo de la siguiente forma:

sen(5)=sen(30-25)=sen(30) \cdot cos(25) - cos(30) \cdot sen(25)}

sen(5)=sen(30-25)=\frac{1}{2} \cdot cos(25) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0.42}

Nos falta conocer cos(25), pero como tenemos sen(25)=0.42, podemos hallarlo usando la fórmula fundamental de la trigonometría
[sen(25)]^2 + [cos(25)]^2 = 1

Le aconsejo que complete los cálculos y los verifique usando una calculadora.

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