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Dominio de composición de funciones

Dadas las funciones f(x)=\sqrt{x} , g(x)=e^{x+2} y h(x)=x-2, encuentra el dominio de las siguientes funciones:

a) (f \circ g)(x)
b) (g \circ f)(x)
c) (g^{-1} \circ h)(x)

SOLUCIÓN

f(x)=\sqrt{x}
g(x)=e^{x+2}
h(x)=x-2

a) (f \circ g)(x) = f[g(x)] = f\left(e^{x+2}\right) = \sqrt{e^{x+2}}
En las funciones irracionales de índice par, el dominio es el conjunto de puntos que hacen que el radicando se mayor o igual que cero.
En el radicando hay una función exponencial que nunca es negativa, por tanto el dominio es todos los reales
Dom(f \circ g) = R

b) (g \circ f)(x)=g[f(x)]=g \left( \sqrt{x}\right)=e^{\sqrt{x}+2}
Para evitar la raíz negativa tendría que ser x \geq 0
Dom(g \circ f) = [0, +\infty)

c) (g^{-1} \circ h)(x)

En primer lugar calculamos g^{-1}(x)
g(x)=e^{x+2}
y=e^{x+2}
Cambiamos x por y
x=e^{y+2}
Ln \:x= Ln \: e^{y+2}
Ln \:x= (y+2) \cdot Ln \: e
Ln \:x= y+2
-2 + Ln \:x= y

Por tanto: g^{-1}(x)=2 + Ln \:x

(g^{-1} \circ h)(x) = g^{-1}[h(x)]=g^{-1}(x-2)=2+ Ln(x-2)
Para evitar logaritmos negativos (y de cero), forzamos x-2>0, por tanto x>2

Dom(g^{-1} \circ h) = (2, +\infty)

moderación a priori

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